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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 25.Exercício - Ex. 38e

Identifique a quádrica descrita pela equação dada.

(e) x 2 - 2 x y + y 2 = 0

Passo 1

Bom, vamos dar uma olhada nessa equação:

x 2 - 2 x y + y 2 = 0

Se a gente quiser encontrar a solução reduzida, nossa maior dificuldade é aquele produto x y .

Para sumir com esse termo vamos fazer uma rotação do sistema de coordenadas. Dê uma olhada no desenho:

Isso diz que os eixos x y são obtidos pela rotação no sentido anti-horário dos eixos u e v por um ângulo θ , em torno do eixo w .

Então podemos representar isso com a matriz de rotação:

cos ⁡ θ - sen ⁡ θ sen ⁡ θ cos ⁡ θ u v = x y

Multiplicando essas matrizes, ficamos com:

x = u cos ⁡ θ - v sen ⁡ θ

y = u sen ⁡ θ + v cos ⁡ θ

Ok, vamos ver o que acontece com essa substituição.

Passo 2

A nossa equação é:

x 2 - 2 x y + y 2 = 0

u cos ⁡ θ - v sen ⁡ θ 2 - 2 u cos ⁡ θ - v sen ⁡ θ u sen ⁡ θ + v cos ⁡ θ + u sen ⁡ θ + v cos ⁡ θ 2 = 0

Vamos resolver esses termos separadamente, para evitar confusão:

x 2 = u cos ⁡ θ - v sen ⁡ θ 2 = u 2 cos 2 ⁡ θ - 2 u v cos ⁡ θ sen ⁡ θ + v 2 sen 2 ⁡ θ

y 2 = u sen ⁡ θ + v cos ⁡ θ 2 = u 2 sen 2 ⁡ θ + 2 u v sen ⁡ θ cos ⁡ θ + v 2 cos 2 ⁡ θ

Então:

2 x y = 2 u cos ⁡ θ - v sen ⁡ θ u sen ⁡ θ + v cos ⁡ θ

2 x y = 2 cos ⁡ θ sen ⁡ θ u 2 - v 2 + 2 u v cos 2 ⁡ θ - 2 u v sen 2 ⁡ θ

Usando algumas identidades trigonométricas:

sen ⁡ 2 θ = 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ cos ⁡ 2 θ = cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ

Podemos simplificar um pouco essas expressões:

x 2 = u cos ⁡ θ - v sen ⁡ θ 2 = u 2 cos 2 ⁡ θ - u v sen ⁡ 2 θ + v 2 sen 2 ⁡ θ

y 2 = u sen ⁡ θ + v cos ⁡ θ 2 = u 2 sen 2 ⁡ θ + u v sen ⁡ 2 θ + v 2 cos 2 ⁡ θ

2 x y = sen ⁡ 2 θ u 2 - v 2 + 2 u v cos ⁡ 2 θ

Substituindo na expressão:

x 2 - 2 x y + y 2 = 0

Os termos com u v vão se cancelar em x 2 e y 2 :

u 2 cos 2 ⁡ θ + v 2 sen 2 ⁡ θ - sen ⁡ 2 θ u 2 - v 2 + 2 u v cos ⁡ 2 θ + u 2 sen 2 ⁡ θ + v 2 cos 2 ⁡ θ = 0

u 2 cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ + v 2 sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ - sen ⁡ 2 θ u 2 - v 2 - 2 u v cos ⁡ 2 θ = 0

Sabendo que sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1 :

u 2 + v 2 - sen ⁡ 2 θ u 2 - v 2 - 2 u v cos ⁡ 2 θ = 0

Ok, agora podemos escolher o valor de θ .

Passo 3

Para conseguirmos chegar na equação reduzida, temos que nos livrar do produto u v :

u 2 + v 2 - sen ⁡ 2 θ u 2 - v 2 - 2 u v cos ⁡ 2 θ = 0

Então precisamos de:

cos ⁡ 2 θ = 0

Lembrando que π / 2 tem cosseno nulo, temos:

2 θ = π 2

θ = π 4

Substituindo isso na equação:

u 2 + v 2 - sen ⁡ 2 π 4 u 2 - v 2 - 2 u v cos ⁡ 2 π 4 = 0

u 2 + v 2 - sen ⁡ π 2 u 2 - v 2 - 2 u v cos ⁡ π 2 = 0

Mas:

sen ⁡ π 2 = 1

cos ⁡ π 2 = 0

Então:

u 2 + v 2 - u 2 - v 2 = 0

2 v 2 = 0

v = 0

Ok, é um resultado um pouco estranho. Ele diz que u fica livre e v deve ser igual a zero:

u = α v = 0

Passo 4

Para interpretar isso vamos voltar no nosso sistema de coordenadas antigo:

x = u cos ⁡ θ - v sen ⁡ θ y = u sen ⁡ θ + v cos ⁡ θ

Substituindo a nossa solução:

u = α v = 0           e           θ = π 4

Ficamos com:

x = α 2 2 y = α 2 2

Ou seja, nossa solução é:

x = y

x - y = 0

Que é a equação de um plano.

Resposta

A equação descreve um plano x - y = 0 .

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