Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 25.Exercício - Ex. 38
Identifique a quádrica descrita pela equação dada.
(f)
Passo 1
Uma coisa que pode facilitar muito a nossa vida na hora de interpretar uma quádrica é achar alguma forma de fatorar a equação.
Algumas equações dão uma “dica” de que dá pra fatorar elas sem fazer muitas contas. Se a gente olhar para a nossa equação:
A dificuldade maior mesmo está nos três primeiros termos! Os outros a gente pode ajustar completando quadrados.
Então vamos olhar para esses três primeiros termos.
Passo 2
Vamos trabalhar em cima do seguinte:
Onde esse representa os termos lineares!
Os três primeiro termos formam um produto notável!
A nossa equação quádrica vai ficar assim então:
Ok, vamos ver aonde isso leva.
Passo 3
Para incluir os termos lineares, nós só precisamos colocar algumas constantes dentro dos parênteses.
Ou seja:
Abrindo os parênteses do lado esquerdo:
Agora vamos colocar de volta na igualdade ali de cima:
Reagrupando os termos quadráticos no produto notável:
Agora podemos cortar os dois produtos fatorados:
E então vamos colocar alguns termos em evidência:
Passo 4
E isso é um sistema que nós podemos resolver para achar e . As variáveis tem que ter os mesmos coeficientes dos dois lados:
Então:
A primeira e a segunda equação são as mesmas, então vamos descartar a segunda:
Substituindo a primeira equação na segunda:
E dá pra fatorar esse polinômio do segundo grau:
Ou seja, as raízes são:
Então a fatoração final pode ser:
Que é a equação de dois planos:
Como as equações tem os mesmos coeficientes em e , sabemos que os planos são paralelos.
Resposta
A equação representa dois planos paralelos: e .