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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 9.Problemas propostos - Ex. 9 c

Identificar e descrever as superfícies de equações dadas.

Passo 1

Falaaaaaa aí!!!! Tudo bem?

Bora matar mais essa?

Então, a primeira coisa que vamos precisar é identificar a nossa superfície, que depois tudo se resolve. Mas aí, você pode me perguntar como eu vou saber quem é quem???

Fica tranquilo, que o segredo é o seguinte, vamos expressar as equações na sua forma reduzida, e depois vamos conferir no conteúdo Superfícies e Quádricas qual equação dará match com a nossa.

Passo 2

Vamos escrever nossa equação:

4 x 2 - 2 y 2 + z 2 - 24 x - 4 y + 8 z + 42 = 0

Podemos subtrair 42 de cada lado:

4 x 2 - 2 y 2 + z 2 - 24 x - 4 y + 8 z = - 42

Reorganizando, temos:

4 x 2 - 24 x - 2 y 2 - 4 y + z 2 + 8 z = - 42

Vamos colocar uns parênteses separando nossas incógnitas para nos ajudar:

4 x 2 - 24 x + - 2 y 2 - 4 y + z 2 + 8 z = - 42

Reorganizando:

4 x 2 - 6 x - 2 y 2 + 2 y + z 2 + 8 z = - 42

Temos x 2 e y 2 , podemos tentar completar os pararênteses para voltar na forma produtos notáveis, vamos chamar esses complementos de a , b e c .

Ahhhh, mas vamos lembrar que o que colocamos do lado esquerdo precisamos colocar no direito:

4 x 2 - 6 x + a 2 - 2 y 2 + 2 y + b 2 + z 2 + 8 z + c 2 = - 42 + 4 a 2 - 2 b 2 + c 2

Seguindo a solução de um produto notável, temos que:

x ± c 2 = x 2 ± 2 x c + c 2

Agora vamos analisar cada parentesê separado.

Para x :

4 x 2 - 6 x + a 2 = x - a 2

- 6 x = 2 a x

a = - 3

Para y :

y 2 + 2 y + b 2 = x + b 2

2 y = 2 b y

b = 1

Para z :

z 2 + 8 z + c 2 = x + c 2

8 z = 2 c z

z = 4

Voltando para nossa equação:

4 x 2 - 6 x + a 2 - 2 y 2 + 2 y + b 2 + z 2 + 8 z + c 2 = - 42 + 4 a 2 - 2 b 2 + c 2

Vamos substituir nossos valores de a , b e c :

4 x 2 - 6 x + - 3 2 - 2 y 2 + 2 y + 1 2 + z 2 + 8 z + 4 2 = - 42 + 4 - 3 2 - 2 ∙ 1 2 + 4 2

4 x 2 - 6 x + 9 - 2 y 2 + 2 y + 1 + z 2 + 8 z + 16 = - 42 + 36 - 2 + 16

4 x 2 - 6 x + 9 - 2 y 2 + 2 y + 1 + z 2 + 8 z + 16 = 8

Agora só precisamos escrever na forma de produtos notáveis:

4 x - 3 2 - 2 y + 1 2 + z + 4 2 = 8

Vamos dividir toda a equação por 8 :

4 x - 3 2 8 - 2 y + 1 2 8 + z + 4 2 8 = 8 8

x - 3 2 2 - y + 1 2 4 + z + 4 2 8 = 1

Agora sim, temos uma equação parecida que nos lembra a equação do hiperboloide de uma folha:

x 2 a 2 - y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1

Então:

Passo 3

Agora vamos identificar o centro C . O centro será os valores que zeram o lado direito, então:

C = 3 , - 1 , - 4

Arrasamos!!!!!!

Agora faltam apenas sete, bora resolve-las?

Resposta

Hiperboloide de uma folha, com centro 3 , - 1 , - 4 e paralelo ao eixo O y .

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