Identifique a quádrica descrita pela equação dada.

(d)

Como o nosso problema só está nas variáveis e , vamos fazer uma rotação no plano , ou seja, em torno do eixo :

E vamos lembrar da matriz de rotação, que é uma forma fácil de lembrar como fica essa rotação.

No nosso caso, e são o resultado de uma rotação de e por um ângulo no sentido anti-horário:

Essa matriz faz justamente isso: rotacionar as coordenadas por um ângulo no sentido anti-horário.

Multiplicando aquelas matrizes, encontramos o seguinte:

Beleza, agora vamos substituir essas expressões de e na equação lá de cima:

Voltando na nossa equação:

E então substituindo:

E o produto dos dois:

Agora vamos lembrar e algumas identidades trigonométricas:

E com isso as equações ali de cima vão se simplificar um pouco:

Tá, e quando a gente somar isso tudo vamos poder agrupar vários termos:

Lembrando que , então:

Ok, simplificamos bastante, mas agora temos que definir um valor para o . Ainda falando só daquele trecho da equação:

Nossa ideia é sumir com esse termo que tem o produto , então temos que fazer aquele cosseno zerar!

A melhor forma de fazer isso é lembrar que o cosseno de é , então:

Agora olha o que acontece quando substituímos:

Como previsto, o cosseno vai zerar, e o seno:

Então:

O próximo passo é olhar para a equação toda:

Esses três primeiros termos nós já resolvemos. A nossa mudança de coordenadas deixa eles bem mais simples:

Com isso:

Substituindo o restante dos termos:

Lembrando de uma propriedade bem útil do :

Então:

Dividindo tudo por :

Que é a equação de uma quádrica cônica parabólica!