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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.3 - Ex. 16

Identifique o tipo de cônica representada pela equação dada abaixo girando os eixos para colocar a cônica em posição canônica. Encontre a equação da cônica no sistema de coordenadas girado e determine o ângulo de rotação.

x ² + x y + y ² = 1 2

Passo 1

Vamos lá pessoal, essa questão não é difícil! A gente pode reescrever a equação acima na forma matricial como:

x T A x = 1 2

Onde x é o vetor coluna e A é a matriz dados por:

x = x 1 x 2 A = 1 1 2 1 2 1

Mas como que eu sei que a matriz A é escrita dessa forma??? Vem comigo que eu te explico!

Os termos da diagonal principal da matriz A são os próprios coeficientes de x 2 e de y 2 , ou seja, os valores que multiplicam esses dois termos! Isso quer dizer que a 11 = 1 e a 22 = 1 .

Já os termos que não estão na diagonal principal da matriz A são a metade dos coeficientes do termo misto x y , ou seja, metade do valor que multiplica esse termo! Isso quer dizer que a 21 =   1 2 e a 12 = 1 2 .

Passo 2

Agora vamos continuar, galera! A gente precisa calcular o polinômio característico da matriz A e ele é dado por:

det ⁡ λ I - A = 0

det ⁡ λ 0 0 λ - 1 1 2 1 2 1 = 0

d e t λ - 1 - 1 2 - 1 2 λ - 1 = 0

λ 2 - 2 λ + 3 4 = 0

Passo 3

Agora, precisamos calcular os autovalores, ou seja, as raízes do polinômio característico:

λ 2 - 2 λ + 3 4 = 0

Para isso, primeiro calculamos o valor de delta:

∆   =   b 2 - 4 a c

∆   = ( - 2 ) 2 - 4 . 1 . 3 4

∆   =   1

Agora que encontramos o valor de delta, aplicamos a fórmula de Bhaskara:

λ 1,2 =   - b   ± ∆ 2 a

λ 1,2 = - ( - 2 ) ± 1 2 . ( 1 )

Portanto, os autovalores são:

λ 1 = 1 2                       λ 2 = 3 2

Passo 4

Continuando galera, estamos conseguindo! Temos os autovalores, então conseguimos calcular os autovetores correspondentes a cada autovalor! Da definição de autovetor, temos:

λ I - A x = 0

Portanto, para λ 1 = 1 2 temos:

1 2 0 0 1 2 - 1 1 2 1 2 1 x 1 x 2 = 0

- 1 2 - 1 2 - 1 2 - 1 2 x 1 x 2 = 0

Portanto, temos que:

- 1 2 . x 1 - 1 2 . x 2 = 0

x 1 = - x 2

Portanto o autovetor correspondente ao autovalor λ 1 = 1 2 é:

x 1 = - 1 1

Para λ 2 = 3 2 temos:

3 2 0 0 3 2 - 1 1 2 1 2 1 x 1 x 2 = 0

1 2 - 1 2 - 1 2 1 2 x 1 x 2 = 0

Portanto, temos que:

1 2 . x 1 - 1 2 . x 2 = 0

x 1 = x 2

Portanto o autovetor correspondente ao autovalor λ 1 = 3 2 é:

x 2 = 1 1

Passo 5

É isso galera, encontramos os autovetores, agora precisamos normalizar ambos! Então, normalizando o vetor x 1 , temos:

u 1 = x 1 x 1 = - 1 1 ( - 1 ) 2 + ( 1 ) 2 = 1 2 . - 1 1 = - 1 2 1 2

Normalizando o vetor x 2 , temos:

u 2 = x 2 x 2 = 1 1 ( 1 ) 2 + ( 1 ) 2 = 1 2 . 1 1 = 1 2 1 2

Passo 6

Com isso em mãos, podemos montar a nossa matriz de rotação P . Ela é dada juntando os autovetores normalizados!

P = - 1 2 1 2 1 2 1 2

O determinante de P deve ser igual a 1 para que P seja uma matriz de rotação! Porém, quando calculamos o determinante, encontramos que det ⁡ P = - 1 . Putz errei tudo? NÃOOO!! Basta você inverter as colunas que tudo vai dar certo! Logo:

P = 1 2 - 1 2 1 2 1 2

E como podemos observar o determinante da matriz P agora é det ⁡ P = 1 . Portanto encontramos a matriz de rotação!

Passo 7

Além de ser uma matriz de rotação, precisamos que A seja ortogonal por P também! Ou seja, precisamos que a transposta da matriz P seja igual a sua inversa, em outras palavras, P T = P - 1 . Isso é verdade se a multiplicação entre a matriz P e sua transposta for igual a matriz identidade I . Logo:

P P T = 1 2 - 1 2 1 2 1 2 . 1 2 1 2 - 1 2 1 2 = 1 0 0 1 = I

Passo 8

Além de tudo isso, precisamos que A seja diagonalizável por P ! Ou seja, precisamos que a diagonal principal da multiplicação entre a inversa de P , a matriz A e a matriz P seja composta pelos autovalores encontrados anteriormente! Muito complicado né? Vou traduzir! Precisamos que:

P - 1 A P = λ 1 0 0 λ 2

P - 1 A P = 1 2 1 2 - 1 2 1 2 . 1 1 2 1 2 1   . 1 2 - 1 2 1 2 1 2 = 1 2 0 0 3 2 = λ 1 0 0 λ 2

Portanto, A é ortogonalmente diagonalizável por P e P é a matriz de rotação!

Passo 9

Estamos quase acabando pessoal! Vamos lá! Podemos reescrever a equação da cônica no sistema de coordenadas girado x ' y ' como:

x ' y ' . 1 2 0 0 3 2 . x ' y ' = 1 2

Portanto, temos que:

1 2 x ' + 3 2 y ' = 1 2

x ' + 3 y ' = 1

Essa equação de cônica representa uma Elipse! Muito bem pessoal, encontramos a primeira resposta! Bora pra segunda!

Passo 10

Como descoberto no passo 6, a matriz P é uma matriz de rotação. Isso quer dizer que:

P = 1 2 - 1 2 1 2 1 2 = c o s   θ - s e n   θ s e n   θ c o s   θ

Portanto, o ângulo de rotação através do qual os eixos foram girados é dado por:

t g   θ = s e n   θ cos ⁡ θ = 1 2 1 2 = 1

θ = t g - 1 1 = π 4 = 45 °

Resposta

Parabéns, pessoal! Chegamos ao fim dessa questão! Vocês venceram mais uma vez! Temos que a equação da cônica no sistema de coordenadas girado é,

x ' + 3 y ' = 1

E essa equação representa uma elipse!

Além disso, o ângulo de rotação através do qual os eixos foram girados é,

θ = 45 °

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