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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 6.Exercícios Suplementares - Ex. 7

Suponha que R 3 tenha o produto interno euclidiano. Encontre dois vetores de comprimento 1 que sejam ortogonais a cada um dos três vetores u 1 = 1,1 , - 1 ,   u 2 = - 2 , - 1,2 e u 3 = - 1,0 , 1 .

Passo 1

Oieee... tudo bem?

Vamos à resolução do nosso exercício... começando fazer o produto interno x e cada um dos três vetores para encontrar os vetores pedidos. Bora!

Passo 2

Vamos criar um vetor x que está no R 3 .

x = x 1 , x 2 , x 3

Agora vamos fazer o produto desse vetor com os três vetores indicados:

x = x 1 , x 2 , x 3 ,     u 1 = 1,1 , - 1

x , u 1 = x 1 + x 2 - x 3

x , u 1 = x 2

x = x 1 , x 2 , x 3 ,                       u 2 = - 2 , - 1,2

x , u 2 = - 2 x 1 - x 2 + 2 x 3

x , u 2 = - x 2

x = x 1 , x 2 , x 3 ,     u 3 = - 1,0 , 1

x , u 3 = - x 1 + x 3 = 0

x 1 = x 3

Beleza, achamos os dois vetores. Então o vetor x é x = x 1 + 0 + x 1 , colocamos duas vezes o x 1 porque o x 3 é igual a ele, e fazer isso nos convém para usarmos no próximo passo.

Passo 3

Agora vamos fazer a norma do vetor:

x = x 1 2 + x 1 2

x = x 1 2

Lembrando que o comprimento do vetor tem que ser 1, então fica:

1 = x 1 2

x 1 = 1   2

Conseguimos!!! \o/

Resposta

x = x 1 2 + x 1 2

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Prove que a Fórmula (4) é válida com quaisquer vetores u → e v → num espaço com produto interno V .
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Seja W a reta y = x num sistema de coordenadas x y de R 2 . Descreva o subespaço W ⊥ .
Seja w um subespaço de um espaço vetorial com produto interno V , gerado pelos vetores V 1 , … , V k . Mostre que V ∈ w ⊥ se, e somente se, V é ortogonal a V i , para i = 1 , … , k .
Sejam SeS 0 subconjuntos de um espaço vetorial com produto interno V . Mostre que S 0 ⫅ S implica que S ⊥ ⫅ S 0 ⊥ .