Enunciado

Mediante a mudança de coordenadas x   =   a s   -   b t ,   y   =   b s +   a t , obtida por uma rotação de eixos, a forma quadrática A x ²   +   2 B x y   +   C y ² passa a expressar-se como A ' s ² + 2 B ' s t + C ' t ² . Mostre que A   ' + C   '   =   A + C   e   A   ' C   ' - ( B   ' ) ²   =   A C - B ² e conclua que a equação característica é invariante por rotação dos eixos.

Passo 1

Olá galera! tudo bem?

Bora junto resolver mais um problema!

Este exercício é de demonstração e vai requerer um pouco mais de domínio teórico de álgebra.

Preparado?

Vamos provar essa afirmação por absurdo, tranquilo?

Inicialmente queremos provar que

A   ' + C   '   =   A + C  

E

A   ' C   ' - ( B   ' ) ²   =   A C - B ²

Para que isso ocorra teremos obrigatoriamente que a ²   +   b ²   = 1 ou seja temos

a   =   c o s α   e   b   =   s e n α

Para essa rotação gere as equações descrita acima temos que α =   90 ° como descrito no livro texto.

Sabemos também que com esse ângulo de rotação as equações características são invariantes pois temos apenas troca de valores de 0 para 1 que não influencia no resultado do , ou seja no valor de A,B e C

Te vejo na próxima questão!

Resposta

O valor do ângulo de rotação não está influenciando na equação característica do sistema.

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