Mediante a mudança de coordenadas x=a s-b t ,y=b s +a t , obtida por uma rotação de eixos, a forma quadrática A x ²+2 B x y+C y ² ² ² passa a expressar-se como A ' s ² + 2 B ' s t + C ' t ² ² ² . Mostre que A' + C'=A + CeA' C' - ( B' ) ²=A C - B ² ² ² e conclua que a equação característica é invariante por rotação dos eixos.

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - LIMA, Elon L. Geometría analítica e Álgebra Linear- Ed: 2º - Capítulo 20.Problemas - Ex. 3

Mediante a mudança de coordenadas , obtida por uma rotação de eixos, a forma quadrática passa a expressar-se como . Mostre que e conclua que a equação característica é invariante por rotação dos eixos.

Passo 1

Olá galera! tudo bem?

Bora junto resolver mais um problema!

Este exercício é de demonstração e vai requerer um pouco mais de domínio teórico de álgebra.

Preparado?

Vamos provar essa afirmação por absurdo, tranquilo?

Inicialmente queremos provar que

Para que isso ocorra teremos obrigatoriamente que ou seja temos

Para essa rotação gere as equações descrita acima temos que como descrito no livro texto.

Sabemos também que com esse ângulo de rotação as equações características são invariantes pois temos apenas troca de valores de 0 para 1 que não influencia no resultado do , ou seja no valor de A,B e C

Te vejo na próxima questão!

Resposta

O valor do ângulo de rotação não está influenciando na equação característica do sistema.

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