Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - LIMA, Elon L. Geometría analítica e Álgebra Linear- Ed: 2º - Capítulo 20.Problemas - Ex. 3

Mediante a mudança de coordenadas x   =   a s   -   b t ,   y   =   b s +   a t , obtida por uma rotação de eixos, a forma quadrática A x ²   +   2 B x y   +   C y ² passa a expressar-se como A ' s ² + 2 B ' s t + C ' t ² . Mostre que A   ' + C   '   =   A + C   e   A   ' C   ' - ( B   ' ) ²   =   A C - B ² e conclua que a equação característica é invariante por rotação dos eixos.

Passo 1

Olá galera! tudo bem?

Bora junto resolver mais um problema!

Este exercício é de demonstração e vai requerer um pouco mais de domínio teórico de álgebra.

Preparado?

Vamos provar essa afirmação por absurdo, tranquilo?

Inicialmente queremos provar que

A   ' + C   '   =   A + C  

E

A   ' C   ' - ( B   ' ) ²   =   A C - B ²

Para que isso ocorra teremos obrigatoriamente que a ²   +   b ²   = 1 ou seja temos

a   =   c o s α   e   b   =   s e n α

Para essa rotação gere as equações descrita acima temos que α =   90 ° como descrito no livro texto.

Sabemos também que com esse ângulo de rotação as equações características são invariantes pois temos apenas troca de valores de 0 para 1 que não influencia no resultado do ∆ , ou seja no valor de A,B e C

Te vejo na próxima questão!

Resposta

O valor do ângulo de rotação não está influenciando na equação característica do sistema.

Exercícios de Livros Relacionados

Prove: se a, b, c, d são números inteiros tais que a + b = c + d, então A = a b c d Tem autovalores inteiros, a saber, λ 1 = a + b e λ 2 = a - c .
Seja A uma matriz 2x2. Dizemos que uma reta pela origem de R 2 é invariante por A se Ax estiver nessa reta sempre que x estiver. Em cada parte, obtenha as equações de todas as retas de R 2 que são inv
Suponha que o polinômio característico de alguma matriz A seja p λ = λ - 1 λ - 3 2 λ - 4 3 . Em cada parte responda à pergunta e explique ser raciocínio. Qual é o tamanho de A ?
Prove que se A for uma matriz quadrada, então A e A T têm os mesmos autovalores.
Prove: se λ for um autovalor de A com autovetor associado x e se s for um escalar, então λ - s é um autovalor de A - s I com autovetor associado x.