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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.4 - Ex. 25

Mostre que se p (x) = x^2 - (a + d) x + ( a d - b c ) e

A = [[[a,b],[c,d]]]

Então p (A) = 0 .

Passo 1

Show de bolinha pessoal, esse exercício tem uma cara feia mas a gente consegue dar um jeitinho nele, saca só. Se o polinômio que ele deu é p (x) = x^2 - (a + d) x + ( a d - b c ) , a gente pode passar ele pra forma matricial pra poder envolver a matriz A , desse jeito, p (A) = A^2 - (a + d) A + (a d - b c) I . Agora o macete maroto é encontrar os termos separados e depois juntar tudo pra ver o que que dá. Partiu fazer essa missão então.

Passo 2

Como p (A) = A^2 - (a + d) A + (a d - b c) I , nossos termos são:

A^2 = [[[a,b],[c,d]]] [[[a,b],[c,d]]] = [[[a^2,+,b,c,a,b,+,b,d],[a,c,+,c,d,b,c,+,d^2]]]

(a + d) A = (a + d) [[[a,b],[c,d]]] = [[[a^2,+,a,d,a,b,+,b,d],[a,c,+,c,d,d^2,+,a,d]]]

(a d - b c) I = (a d - b c) [[[1,0],[0,1]]] = [[[a,d,-,b,c,0],[0,a,d,-,b,c]]]

Passo 3

Agora se a gente juntar tudo isso que acabamos de encontrar vamos ficar com isso aqui:

p (A) = A^2 - (a + d) A + (a d - b c) =>

p (A) = [[[a^2,+,b,c,a,b,+,b,d],[a,c,+,c,d,b,c,+,d^2]]] - [[[a^2,+,a,d,a,b,+,b,d],[a,c,+,c,d,d^2,+,a,d]]] + [[[a,d,-,b,c,0],[0,a,d,-,b,c]]] =>

p (A) = [[[a^2,+,b,c,-,a^2,+,a,d,+,a,d,-,b,c,a,b,+,b,d,-,a,b,+,b,d,+,0],[a,c,+,c,d,-,,a,c,+,c,d,+,0,,b,c,+,d^2,-,d^2,+,a,d,+,,a,d,-,b,c]]] =>

p (A) = [[[0,0],[0,0]]] = 0

Logo nossa igualde é VERDADEIRA!!

Resposta

p (A) = [[[0,0],[0,0]]] = 0

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Uma matriz quadrada A arbitrária.
Considere a matriz A = a 11 0 ⋯ 0 0 a 22 ⋯ 0 ⋮ ⋮⋮ 0 0 ⋯ a n n Em que a 11 a 22 ⋯ a n n ≠ 0 . Mostre que A é invertível e encontre sua inversa.
A matriz A do Exercício 21.
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