Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.4 - Ex. 27
Considere a matriz
Em que . Mostre que é invertível e encontre sua inversa.
Passo 1
Bom galerinha bonita, de acordo com a Definição 1 do Livro
“Se for uma matriz quadrada e se pudermos encontrar uma matriz de mesmo tamanho tal que , então diremos que é invertível (ou não singular) e que é uma inversa de . Se não puder ser encontrada uma tal matriz , diremos que é não invertível ou não singular.”
Isso quer dizer que se a gente conseguir encontrar essa tal matriz , vamos provar que é invertível e de brinde nossa matriz vai ser a nossa inversa rsrs. Então bora na missão.
Passo 2
Primeiro vamos dar uma cara pra e abrir nossa igualdade
Passo 3
Pô, agora tá ficando bonito, acabamos de descobrir como que fica a igualdade
E a gente pode escrever as equações separadamente pra cada termo, isto é, para os elementos da diagonal principal quando as coordenadas são o resultado do produto vai ser 1
Agora para os outros elementos de coordenadas o produto vai ser 0. Mas é aqui que tá malandragem dos menor, saca só, tu lembra que o enunciado falou pra gente que , isso quer dizer que todos esses elementos da matriz são não nulos, afinal se alguns deles fosse , o produto seria igual a .
Olha que coisa linda, como a gente foi malandro e já percebeu que os elementos de onde e não podem ser , isso implica que para o produto ser nulo, obrigatoriamente os elementos de onde são iguais a . Desse jeito
Passo 4
Como a gente já viu, quando , nosso produto vai ser igual a
Ou seja, os elementos da diagonal de vão depender dos elementos de de acordo com a relação
Então nossa matriz agora vai ser
Prontinho!!