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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.4 - Ex. 22

A matriz A do Exercício 18.

Passo 1

A matriz do Exercício 18 é dada por:

A = [[[2,0],[4,1]]]

Como a gente quer testar a validade de p_1 (A) = p_2 (A) p_3 ( A ) . Vamos encontrar os termos separados e depois comparar.

Passo 2

Como p_1 (x) = x^2 - 9 , adaptando pra forma matricial ficamos com p_1 (A) = A^2 - 9 I .

A^2 = [[[4,0],[12,1]]]

9 I = [[[9,0],[0,9]]]

p_1 (A) = A^2 - 9 I => [[[4,0],[12,1]]] - [[[9,0],[0,9]]] = [[[-,5,0],[12,-,8]]]

Passo 3

Belezinha, agora falta encontrar a outra parte da igualdade, p_2 (A) p_3 ( A ) , como p_2 (x) = x + 3 e p_3 (x) = x - 3 , adaptando a equação pra forma matricial vamos ficar com p_2 (A) = A + 3 e p_3 (A) = A - 3 .

p_2 (A) = A + 3 => [[[2,0],[4,1]]] - [[[3,0],[0,3]]] = [[[-,1,0],[4,-,2]]]

p_3 (A) = A - 3 => [[[2,0],[4,1]]] + [[[3,0],[0,3]]] = [[[5,0],[4,4]]]

p_2 (A) p_3 (A) = [[[-,1,0],[4,-,2]]] [[[5,0],[4,4]]] = [[[-,5,0],[12,-,8]]]

Passo 4

Agora que descobrimos os elementos dos dois lados, podemos comparar

p_1 (A) = [[[-,5,0],[12,-,8]]]

p_2 (A) p_3 (A) = [[[-,5,0],[12,-,8]]]

p_1 (A) = p_2 (A) p_3 (A) <=> [[[-,5,0],[12,-,8]]] = [[[-,5,0],[12,-,8]]]

São EXATAMENTE iguais!!!

Resposta

p_1 (A) = [[[-,5,0],[12,-,8]]]

p_2 (A) p_3 (A) = [[[-,5,0],[12,-,8]]]

p_1 (A) = p_2 (A) p_3 (A) <=> [[[-,5,0],[12,-,8]]] = [[[-,5,0],[12,-,8]]]

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