Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 5.3 - Ex. 16
Mostre que o conjunto de todos os vetores do ortogonais a um dado vetor , é um subespaço de .
Passo 1
Oiie, tudo certinho?
Eu sei que estas coisas parecem confusas assim de cara, mas vamos tentar lembrar a definição do que é um subespaço, beleza?
Para ser um subespaço, é necessário que o sistema respeite três propriedades:
(i) O elemento neutro pertence ao conjunto em questão.
(ii) É necessário que a propriedade aditiva seja válida, ou seja para dois vetores e que pertencem ao conjunto, temos que:
e por último:
(iii) Precisamos que a propriedade escalar seja válida, ou seja:
Vamos tentar resolver isso então!
Passo 2
A primeira coisa a se checar é, temos o elemento neutro? Vamos supor um vetor da forma , será que ele é ortogonal à ? Como ele é um vetor nulo, ele é ortogonal a todo e qualquer vetor, já que a ortogonalidade é dada pela definição:
Okay, a primeira propriedade já era, vamos para a próxima!
Passo 3
Se propomos agora a existência e um segundo vetor ortogonal a , ou seja:
Será que ainda é ortogonal? Pela propriedade associativa do produto escalar, isso saí direto, a propriedade é a seguinte:
Portanto , já que ele também é ortogonal pela definição de ortogonalidade. Relação (ii) já era, bora para a última!
Passo 4
Agora vamos propor um vetor , em que . Se lembrarmos da propriedade de multiplicação por escalar do produto escalar, temos:
Ou seja, . Sendo assim, as três propriedades são válidas e portanto, é subespaço do . A questão foi isso, te vejo na próxima! Tchau Tchau!
Resposta
Ao longo dos passos.