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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - LIMA, Elon L. Geometría analítica e Álgebra Linear- Ed: 2º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 1

Seja Q um quadrilátero cujos vértices são A 1 = a 1 , b 1 ,   A 2 = a 2 , b 2 ,   A 3 = a 3 , b 3     e     A 4 = a 4 , b 4 . Estendendo a notação introduzida no final da Seção 10, escreva

a 1 a 2 a 3 a 4 b 1 b 2 b 3 b 4 = a 1 b 2 + a 2 b 3 + a 3 b 4 + a 4 b 1

- a 2 b 1 - a 3 b 2 - a 4 b 3 - a 1 b 4

e mostre que este número é, em valor absoluto, o dobro da área do quadrilátero Q.

Passo 1

Fala aí pessoal tudo blz?

Nessa questão sendo Q um quadrilátero cujos vértices são A 1 = a 1 , b 1 ,   A 2 = a 2 , b 2 ,   A 3 = a 3 , b 3     e     A 4 = a 4 , b 4 . Estendendo a notação introduzida no final da Seção 10, escreva

a 1 a 2 a 3 a 4 b 1 b 2 b 3 b 4 = a 1 b 2 + a 2 b 3 + a 3 b 4 + a 4 b 1

- a 2 b 1 - a 3 b 2 - a 4 b 3 - a 1 b 4

e mostre que este número é, em valor absoluto, o dobro da área do quadrilátero Q.

Pode ficar calminho que você vai entender legal, só confia.

Passo 2

Sabendo que,

A 1 = a 1 , b 1

A 2 = a 2 , b 2

  A 3 = a 3 , b 3

  A 4 = a 4 , b 4 , sendo

a 1 a 2 a 3 a 4 b 1 b 2 b 3 b 4 = a 1 b 2 + a 2 b 3 + a 3 b 4 + a 4 b 1

- a 2 b 1 - a 3 b 2 - a 4 b 3 - a 1 b 4

Para achar a área devemos realizar que,

O P Q = 1 2 | α 1 β 2 - α 2 β 1 |

Ficando,

O P Q = 1 2 | a 1 - a 3 . a 2 - a 4 - a 4 - a 2 . ( a 2 - a 4 ) |

Espero ter ajudado, e até a próxima.

Resposta

O P Q = 1 2 | a 1 - a 3 . a 2 - a 4 - a 4 - a 2 . ( a 2 - a 4 ) |

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