Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 5.3 - Ex. 7
Use o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt para encontrar uma base ortonormal para o subespaço de que tem como base .
Passo 1
Oiiie, tudo certinho?
Para resolver esta questão vamos nos lembrar a definição de ortogonalidade mais simples que pode ser utilizada neste problema, ou seja:
E também é necessário que e , para que eles sejam normalizados. A definição de norma é dada por:
Ou seja, nossos vetores de base devem obedecer às condições dadas acima, bora lá!
Passo 2
Vamos estabelecer o seguinte, , , . Como nenhum deles é ortogonal podemos utilizar o método de Gram-Schmidt para calcular a nossa base ortogonal e para para isso vou introduzir a definição:
que é a projeção ortogonal de um vetor qualquer em um vetor não nulo , e portanto, podemos formar uma base ortogonal encontrando sucessivos vetores tais que se:
temos que:
e
Vamos encontrar então a nossa base, bora bora!
Passo 3
Temos que:
e portanto, temos que:
calculando também que:
Portanto, temos que:
Vamos usar este resultado para obter o nosso próximo vetor, beleza?
Passo 4
Vamos utilizar a definição (6) para obter:
Vamos usar a definição (1) para obter:
E agora, pela definição (2), temos que:
e finalmente, temos que:
Portanto, nossa base é tal que .
Vamos normalizá-la, e o problema acabou!
Passo 5
Um vetor normalizado pode ser obtido fazendo:
Portanto, temos que:
temos também que:
e por último, usando a definição (2) para calcular:
e portanto, temos:
Aí está nossa base ortonormal, te vejo na próxima! Tchauzinho!