Mostre que o ângulo entre dois vetores não nulos X = ( x 1 ,. . .,x n ) e Y = ( y 1 ,. . .,y n ) de R n , que é definido como sendo o número real θ entre 0 e π tal que: c o s ( θ ) = X ⋅ Y | | X | | | | Y | | , está bem definido, ou seja, que existe um tal número real θ e é único. (Sugestão: mostre, usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz., que - 1 ≤ X ⋅ Y | | X | | | | Y | | ≤ 1 . )

Enunciado

Eaew, belezinha?

Vamos seguir pela sugestão dele, usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz que diz que:

Vamos lembrar também uma propriedade de uma função modular neste contexto, saca só!

Obedecendo a desigualdade estabelecida por Cauchy-Schwarz, podemos dizer que:

Okay, temos então uma relação de desigualdade, e agora? Será que a definição dada é bem definida? Vamos checar!

Substituindo a função em nossa desigualdade temos:

Em temos que e , são os nossos pontos extremos da função cosseno, se observarmos o comportamento da função no intervalo temos o seguinte:

Note que em nenhum momento a desigualdade deixa de ter validade, portanto ela é sim, bem definida! A questão é isso, te vejo na próxima! Tchauzinho!

Ao longo dos passos.