Mostre que o ângulo entre dois vetores não nulos X = ( x 1 ,   . . .   ,   x n ) e Y = ( y 1 ,   . . .   ,   y n ) de R n , que é definido como sendo o número real θ entre 0 e π tal que:

c o s ( θ ) = X ⋅ Y | | X | | | | Y | | ,

está bem definido, ou seja, que existe um tal número real θ e é único. (Sugestão: mostre, usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz., que - 1 ≤ X ⋅ Y | | X | | | | Y | | ≤ 1 . )

Passo 1

Eaew, belezinha?

Vamos seguir pela sugestão dele, usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz que diz que:

| X ⋅ Y | ≤ | | X | | | | Y | |

Vamos lembrar também uma propriedade de uma função modular neste contexto, saca só!

Passo 2

Obedecendo a desigualdade estabelecida por Cauchy-Schwarz, podemos dizer que:

| X ⋅ Y | | | X | | | | Y | | ≤ 1 → - 1 ≤ X ⋅ Y | | X | | | | Y | | ≤ 1

Okay, temos então uma relação de desigualdade, e agora? Será que a definição dada é bem definida? Vamos checar!

Passo 3

Substituindo a função em nossa desigualdade temos:

- 1 ≤ c o s ( θ ) ≤ 1

Em π temos que c o s ( π ) = - 1 e c o s ( 0 ) = 1 , são os nossos pontos extremos da função cosseno, se observarmos o comportamento da função no intervalo temos o seguinte:

Note que em nenhum momento a desigualdade deixa de ter validade, portanto ela é sim, bem definida! A questão é isso, te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

Ao longo dos passos.

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