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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 6.2 - Ex. 8

Mostre que a equação de uma superfície cônica com vértice num ponto P 0 = x 0 , y 0 , z 0 e uma curva diretriz situada no plano z = c com equação f x , y = 0 é f x 0 + c - z 0 z - z 0 x - x 0 , y 0 + c - z 0 z - z 0 y - y 0 = 0 .

Passo 1

Fala aeeeee. Tudo na paz ?

A superfície cônica ( S ) tem o vértice no ponto:

P 0 = x 0 , y 0 , z 0

Seja P um ponto qualquer de S :

P = ( x , y , z )

Seja P ' o ponto da curva diretriz que une P ao vértice.

P ' = ( x ' , y ' , c )

Passo 2

O ponto P pertence a S se, e somente se, o vetor P 0 P → é paralelo ao vetor P 0 P ' → e P ' é um ponto da curva diretriz, ou seja,

P 0 P → = λ P 0 P ' → e f x ' , y ' = 0

x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 = λ ( x ' - x 0 , y ' - y 0 , c - z 0 )

z - z 0 = λ ( c - z 0 )

λ = z - z 0 c - z 0

Passo 3

Assim, substituindo o valor de λ :

x ' =   x 0 + c - z 0 z - z 0 x - x 0  

y ' = y 0 + c - z 0 z - z 0 y - y 0  

f x 0 + c - z 0 z - z 0 x - x 0 , y 0 + c - z 0 z - z 0 y - y 0 = 0 .

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

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Obter uma equação da superfície gerada pela rotação de cada uma das curvas dadas em torno do eixo indicado: z = - 2 y 2 , x = 0 ; e i x oO z
Obter uma equação da superfície gerada pela rotação de cada uma das curvas dadas em torno do eixo indicado: x 2 + y 2 = 9 ; z = 0 ; e i x oO x
Obter uma equação da superfície gerada pela rotação de cada uma das curvas dadas em torno do eixo indicado: y = 4 x 2 , z = 0 ; e i x oO y
Obter uma equação da superfície gerada pela rotação de cada uma das curvas dadas em torno do eixo indicado: z = 2 y , x = 0 ; e i x oO y
Reduzir cada uma das equações à forma canônica (caso não esteja), identificar a superfície e construir seu gráfico. z = y 2 - x 2