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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 7.3 - Ex. 5

Identifique a quádrica, ache a equação no ultimo sistema de coordenadas utilizado e faça um esboço do gráfico. 7 x 2 + 7 y 2 + 10 z 2 - 2 x y - 4 x z + 4 y z - 12 x + 12 y + 60 z = 24

Passo 1

Fala aeee, tudo na paz? 😊

Da equação da quádrica tiramos que:

a = 7

b =   7

c = 10

d = - 2

e = - 4

f =   4

Portanto:

A =   a d / 2 e / 2 d / 2 b f / 2 e / 2 f / 2 c = 7 - 1 - 2 - 1 7 2 - 2 2 10

Passo 2

O polinômio característico será dado por:

P λ = det ⁡ A - λ I 3 = 7 - λ - 1 - 2 - 1 7 - λ 2 - 2 2 10 - λ = - λ 3 + 3 λ + 2  

- λ 3 + 24 λ 2 - 180 λ + 43 2   = 0

Temos como raízes do polinômio:

λ 1 = 6

λ 2 = 6

λ 3 = 12

Passo 3

Para determinarmos os vetores U ,   T   e   U ' .

Precisamos que:

A - 6 I 3 X   = 0 →

1 - 1 - 2 - 1 1 2 - 2 2 4 x y z = 0 0 0

Escalonando:

1 - 1 - 2 0 0 0 0 0 0 x y z = 0 0 0

x = y + 2 z

Solução Geral:

W 1 = 2 α + β , β , α ; α , β ∈ R

V 1 = 2 0 1   e   V 2 = 1 1 0

U = V 1 V 1 ,   T = V 2 V 2   e   U ' = U   x   T

U =   2 5 0 1 5 ,   T =   1 30 5 6 - 6 3 5   e   U ' = - 1 6 1 6 1 6

P =   U T U ' = 2 5 1 30 - 1 6 0 5 6 1 6 1 5 - 6 3 5 1 6

Passo 4

K =   - 12 12 60

K ' = K x P = - 12 12 60 x 2 5 1 30 - 1 6 0 5 6 1 6 1 5 - 6 3 5 1 6

K ' = 36 5 - 12 6 5 24 6

Passo 5

Agora que eliminamos os termos x y , x z   e   y z podemos escrever a equação da nossa quádrica:

Q : 7 x 2 + 7 y 2 + 10 z 2 - 2 x y - 4 x z + 4 y z - 12 x + 12 y + 60 z = 24 →   λ 1 x 1 2 + λ 2 y 1   2 + λ 3 z 1 2 + K 1 ' x 1 + K 2 ' y 1 + K 3 ' z 1 = 24

Q : 6 x 1 2 + 6 y 1   2 + 12 z 1 2 + 36 5 x 1 - 12 6 5 y 1 + 24 6 z 1 = 24 ÷ 24

Q : 1 4 x 1 2 + 1 4 y 1   2 + 1 2 z 1 2 + 3 2 5 x 1 - 6 2 5 y 1 + 6 z 1 = 1

Equação de um elipsóide.

Passo 6

Gráfico da cônica:

Resposta

Q : 1 4 x 1 2 + 1 4 y 1   2 + 1 2 z 1 2 + 3 2 5 x 1 - 6 2 5 y 1 + 6 z 1 = 1

Exercícios de Livros Relacionados

Prove que a equação dada descreve um hiperboloide, classifique-o quanto ao número de folhas e escreva uma equação vetorial de seu eixo distinguido. Determine seus vértices, se for o caso. x - h 2 a 2
Quais os seguintes objetos não podem ser associados a elipsoides, pelo aspecto da sua superfície externa?Um ovo. Uma bola de rugby. Uma câmera de ar. Uma bola de futebol. Um charuto.
Identifique, em cada caso, o lugar geométrico dos pontos X de E 3 tais que d X , A + d X , B = m . A = 1 ,0,0 B = - 1 ,0 ,0 m = 2 . A = 2,0 , 2 B = 2,0 , 0 m = 1 .
Descreva a curva interseção do hiperboloide Ω com o plano π e determine, quando for o caso centro, focos, assíntotas, raio. Ω : x 2 - 4 y 2 + 5 z 2 = 1π : z + 1 / 5 = 0 . Ω : - 3 x 2 - 4 z 2 + 5 y 2 =
Prove que as equações x 2 a 2 - y 2 b 2 - z 2 c 2 = 1 e - x 2 a 2 - y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 descrevem hiperboloides de duas folhas, esboce-os e estabeleça uma relação entre os sinais do primeiro membro