Mostre que se S   =   { v 1 ,   v 2 ,   v 3 } for um conjunto linearmente dependente de vetores num espaço vetorial V e se v 4 for um vetor qualquer em V que não está em S , então { v 1 ,   v 2 ,   v 3 ,   v 4 } também é linearmente dependente.

Passo 1

Vamos lá! Se S   =   { v 1 ,   v 2 ,   v 3 } é linearmente dependente nós temos uma solução não trivial, para nossa equação:

k 1 v 1 + k 2 v 2 + k 3 v 3 = 0

O que nos indica que k 1 , k 2 , k 3 ≠ ( 0 ,   0 ,   0 ) .

Passo 2

Agora vamos fazer um conjunto R = { v 1 ,   v 2 ,   v 3 , v 4 } , que é linearmente independente que como sabemos só aceita a solução trivial, tal que:

a 1 v 1 + a 2 v 2 + a 3 v 3 + a 4 v 4 = 0

Se nós fizermos a 4 = 0 , podemos reescrever nosso conjunto R como:

k 1 v 1 + k 2 v 2 + k 3 v 3 + a 4 v 4 = 0

Como foi dito acima temos que   k 1 , k 2 , k 3 ≠ ( 0 ,   0 ,   0 ) .

Logo esse sistema não aceita somente a solução trivial, assim o conjunto R é linearmente dependente.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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