Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.3 - Ex. 17

Prove: o espaço gerado por dois vetores em R 3 é uma reta pela origem, um plano pela origem, ou a própria origem.

Passo 1

Vamos lá! Sejam dois vetores u = ( a 1 ,   a 2 ,   a 3 ) e v = ( b 1 ,   b 2 ,   b 3 ) , nós temos:

k 1 ⋅ u + k 2 ⋅ v = k 1 ⋅ a 1 ,   a 2 ,   a 3 + k 2 ⋅ ( b 1 ,   b 2 ,   b 3 )

Chamando k 1 u + k 2 v = γ , nós temos:

γ = k 1 a 1 î +   k 1 a 2 j ^ +   k 1 a 3 k ^ + k 2 b 1 î +   k 2 b 2 j ^ +   k 2 b 3 k ^

∀   k 1 , k 2 ∈ R

Passo 2

Agora vamos analisar nosso γ :

Se k 1 = k 2 = 0 , γ = 0 , logo nossa equação só tem uma resposta possível que é a origem.

Se k 1 = b 2 = b 3 = 0 , nossa equação tem o seguinte formato:

γ = k 2 b 1 î

Que compreende todos os pontos do eixo x , logo é uma reta que passa pela origem.

Para outros valores nosso γ compreenderá todo o conjunto de planos em R 3 , que passem pela origem do sistema, quer uma prova? Vamos fazer:

k 1 k 2 = k ,   a 1 b 1 = x , a 2 b 2 = y ,   a 3 b 3 = z .

Nosso γ agora fica:

k x î + k y j ^ + k z k ^ = 0

Isso é a equação do plano no R 3 , viu só!

Assim conseguimos provar que o espaço gerado por dois vetores em R 3 é uma reta pela origem, um plano pela origem, ou a própria origem!

Até a próxima galera!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine quais dos seguintes conjuntos é tal que nenhum dos seus vetores é combinação linear dos outros dois: a ){ ( 1 ,- 1 ,2 ) , ( 1 ,1 ,0 ) , ( 1 ,- 1 ,1 ) } b ){ ( 2 ,1 ,2 ) , ( 1 ,- 1 ,1 ) , ( 5
Sejam r 1={ A+s·v ;s∈R }er 2={ B+t·w ;t∈R } duas retas:i) Prove que r 1=r 2 se, e somente se, os vetores A B → e w são múltiplos de v .ii) Prove que r 1er 2 são coplanares se, e somente se, os vetores
Sejam A, B, C, D pontos não-coplanares. Descreva um método geométrico (isto é, sem uso de coordenadas) que permita escrever, para qualquer ponto P, o vetor A P → como combinação linear dos vetores u =
Quais dos seguintes vetores são combinação linear de X 1 = 4,2 , - 3 ,X 2 = 2,1 , - 2 e X 3 = ( - 2 , - 1,0 ) a) 1,1 , 1 ; b) 4,2 , - 6 ; c) - 2 , - 1,1 ; d) - 1,2 , 3 .
Sejam u , v , w vetores tais que v é múltiplo de u mas w não é. Se α u + β v + γ w = 0 , prove que γ = 0eα u + β v = 0 .