Mostre que se A for diagonalizável e y = y 1 y 2 ⋮ y n É uma solução do sistema y = A y → , então cada y i é uma combinação linear e λ 1 x ,e λ 2 x , … , e λ n x , onde λ 1 , λ 2 , … ,λ n são os autovalores de A.

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 5.4 - Ex. 6

Mostre que se A for diagonalizável e

É uma solução do sistema , então cada é uma combinação linear , onde são os autovalores de A.

Passo 1

Dada uma matriz que é a diagonalizada da matriz de coeficientes da equação diferencial:

O sistema diagonal é dado por:

Executando o produto matricial teremos:

E pela solução geral das equações diferenciais, podemos afirmar que:

Passo 2

Agora vamos olhar pra solução da equação diferencial

é uma matriz composta pelas bases dos auto espaços, e no passo anterior nós calculamos como uma matriz composto por . E também sabemos que um produto matricial é uma combinação linear.

Então, um produto matricial entre P e é uma combinação linear. Mas como é composto pelos autovetores de , então isso demonstra que a solução de um sistema de equações diferenciais é uma combinação linear dos autovalores de

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Mostre que qualquer solução de y^' = a y tem a forma y = c e^(alpha x) .

Às vezes, é possível resolver uma só equação diferencial linear de coeficientes constantes de ordem superior expressando-a como um sistema e usando os métodos desta seção. Para a equação y ' ' - y ' -

Resolva o sistema y 1 ' = y 1 + 3 y 2 y 2 ' = 4 y 1 + 5 y 2 Encontre a solução que satisfaz as condições iniciais y 1 0 = 2 ,y 2 0 = 1

Resolva o sistema y 1 ' = y 1 + 4 y 2 y 2 ' = 2 y 1 + 3 y 2 Encontre a solução que satisfaz as condições iniciais y 1 0 = 0 ,y 2 0 = 0

Resolva o sistema y 1 ' = - 4 y 1 + y 2 + y 3 y 2 ' = - 2 y 1 + y 2 + y 3 ' = - 2 y 1 + y 2 + y 3 Encontre a solução que satisfaz as condições iniciais y 1 0 = - 1 ,y 2 0 = 1 ,y 3 = 0