Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 5.4 - Ex. 1
- Resolva o sistema
- Encontre a solução que satisfaz as condições iniciais
Passo 1
Item A)
A gente tem o sistema:
Colocando em forma matricial temos:
Então, a matriz de coeficientes é:
Passo 2
Primeiro vamos encontrar os autovalores da matriz de coeficientes:
Aplicamos os valores:
Calculamos o determinante:
Encontramos a equação característica:
E resolvendo esta equação encontramos os autovalores:
Passo 3
E agora vamos calcular os autovetores e a base dos autos espaços pela relação.
Para
Perceba que as linhas não múltiplos escalares entre si, então podemos zerar a segunda linha. Vamos aproveitar para também dividir a primeira linha por
Chegamos em:
Se , então .
Logo, o autovetor e a base do auto espaço são:
Passo 4
Para
Como as duas linhas são iguais, então podemos zerar a segunda linha. Vamos aproveitar para também dividir a primeira linha por :
Chegamos em:
Se , então .
Logo, o autovetor e a base do auto espaço são:
Passo 5
Vamos utilizar as bases dos autovetores para determinar a matriz P:
E a inversa será:
E agora vamos diagonalizar a matriz A:
Passo 6
Agora vamos resolver o sistema diagonal:
Efetuando o produto matricial:
Pela solução geral de equações diferenciais, podemos assumir que:
Logo:
Passo 7
Agora vamos calcular a equação diferencial:
Vamos aplicar:
Efetuando a multiplicação matricial chegamos na solução das equações:
Podemos expressar como:
Passo 8
Item B)
A questão nos afirma que quando , então e
Chegamos em:
Resolvendo esse sistema: