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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 5.4 - Ex. 5

Mostre que qualquer solução de y^' = a y tem a forma y = c e^(alpha x) .

Passo 1

Vamos considerar que y = f ( x ) é solução da equação diferencial. Então vamos considerar um outra função:

h (x) = f (x) * e^(- alpha x)

A derivada desta função será:

h^' (x) = f^' (x) * e^(- alpha x) - alpha * f (x) * e^(- alpha x)

A questão nos diz que: y^' = a y . Então vamos aplicar isso em f ' ( x )

h^' (x) = a f ( x ) * e^(- alpha x) - alpha * f (x) * e^(- alpha x)

Mas, como definimos, f (x) e^(- alpha x) = h ( x ) :

h^' (x) = a f (x) * e^(- alpha x) - alpha * h ( x )

Vamos considerar que a derivada h^' (x) = 0 , isso quer dizer que a função h (x) = c o n s t a n t e . Então, já que alpha também é constante, podemos substituir alpha * h ( x ) por k

0 = a f (x) * e^(- alpha x) - k

Vamos fazer um pouco de álgebra, jogamos um dos termos pro outro lado:

a f (x) * e^(- alpha x) = c

E jogamos a exponencial pro outro lado também:

f (x) = (k)/(a e^(- alpha x)) = (k)/(a) e^(- alpha x)

E, se dissermos que c = (k)/(a) , provamos que:

f (x) = c * e^(- alpha x)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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