Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 5.4 - Ex. 7
Às vezes, é possível resolver uma só equação diferencial linear de coeficientes constantes de ordem superior expressando-a como um sistema e usando os métodos desta seção. Para a equação mostre que as substituições e levam os sistema
Resolva esse sistema e use o resultado para resolver a equação diferencial
Passo 1
Vamos pegar a equação de sugunda ordem:
Vamos chamar
Vamos derivar essas duas definições:
Vamos substituir na equação de segunda ordem:
E vamos reorganizar:
Então, o nosso sistema de equações será:
Passo 2
Agora vamos resolver o sistema. Primeiro podemos determinar a matriz de coeficientes:
E calulamos os autovalores:
Passo 3
Agora vamos calcular os autovalores e bases dos auto-espaços
Para
Perceba que as linhas são múltiplos escalares entre si. Então vamos zerar a segunda linha:
Chegamos em:
Se chamarmos :
Logo o autovetor e base do autoespaço será:
Passo 4
Para
Perceba que as linhas são múltiplos escalares entre si. Então vamos zerar a segunda linha:
Chegamos em:
Se chamarmos :
Logo o autovetor e base do autoespaço será:
Passo 5
Vamos utilizar as bases dos autovetores para determinar a matriz P:
E agora vamos diagonalizar a matriz A:
Passo 6
Agora vamos resolver o sistema diagonal:
Efetuando o produto matricial:
Pela solução geral de equações diferenciais, podemos assumir que:
Logo:
Passo 7
Agora vamos calcular a equação diferencial:
Vamos aplicar:
Efetuando a multiplicação matricial chegamos na solução das equações:
Podemos expressar como:
Passo 8
Como definimos lá no Passo 1:
Então a solução da equação é: