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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 1.1 - Ex. 20

Mostre que a matriz identidade I n é a única matriz tal que A I n = I n A = A para qualquer matriz A ,   n   x   n . (Sugestão: Seja J n uma matriz tal que A J n = J n A = A . Mostre que J n = I n

Passo 1

Fala aee, pessoal! Tudo bem?

Vamos definir quem são as matrizes A e J n

A = a 11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ a n n

J n = j 11 ⋯ j 1 n ⋮ ⋱ ⋮ j n 1 ⋯ j n n

Passo 2

O produto matricial A J n é dado por:

A J n = a 11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ a n n j 11 ⋯ j 1 n ⋮ ⋱ ⋮ j n 1 ⋯ j n n

A J n = a 11 j 11 + … + a 1 n j n 1 ⋯ a 11 j 1 n + … + a 1 n j n n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 j 11 + … + a n n j n 1 ⋯ a n 1 j 1 n + … + a n n j n n

Analogamente, o produto matricial J n A é dado por:

J n A = j 11 a 11 + … + j 1 n a n 1 ⋯ j 11 a 1 n + … + j 1 n a n n ⋮ ⋱ ⋮ j n 1 a 11 + … + j n n a n 1 ⋯ j n 1 a 1 n + … + j n n a n n

Passo 3

Portanto, para que a equação

A J n = J n A = A

a 11 j 11 + … + a 1 n j n 1 ⋯ a 11 j 1 n + … + a 1 n j n n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 j 11 + … + a n n j n 1 ⋯ a n 1 j 1 n + … + a n n j n n = j 11 a 11 + … + j 1 n a n 1 ⋯ j 11 a 1 n + … + j 1 n a n n ⋮ ⋱ ⋮ j n 1 a 11 + … + j n n a n 1 ⋯ j n 1 a 1 n + … + j n n a n n = a 11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ a n n

Seja verdadeira, precisamos que:

j 11 ⋯ j 1 n ⋮ ⋱ ⋮ j n 1 ⋯ j n n = 1 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ 1

Portanto:

A I n = I n A = A

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

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