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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.Exercícios Suplementares - Ex. 22

Se as entradas da matriz

C = c 11 x c 21 x ⋮ c m 1 x       c 12 x c 22 x ⋮ c m 2 x       ⋯ ⋯ ⋮ ⋯       c 1 n x c 2 n x ⋮ c m n x

São funções deriváveis de x , então definimos

d C d x = c 11 ' x c 21 ' x ⋮ c m 1 ' x       c 12 ' x c 22 x ⋮ c m 2 ' x       ⋯ ⋯ ⋮ ⋯       c 1 n ' x c 2 n ' x ⋮ c m n ' x

Mostre que, se as entradas de A e B forem funções deriváveis de x e os tamanhos das matrizes forem tais que as operações estão definidas, então

  1. d d x k A = k d A d x
  2. d d x A + B = d A d x + d B d x
  3. d d x A B = d A d x B + A d B d x

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Item (a):

Seja:

A = a 11 x a 21 x ⋮ a m 1 x       a 12 x a 22 x ⋮ a m 2 x       ⋯ ⋯ ⋮ ⋯       a 1 n x a 2 n x ⋮ a m n x

Então:

d A d x = a 11 ' x a 21 ' x ⋮ a m 1 ' x       a 12 ' x a 22 ' x ⋮ a m 2 ' x       ⋯ ⋯ ⋮ ⋯       a 1 n ' x a 2 n ' x ⋮ a m n ' x

Para encontrar k A , vamos multiplicar k por A :

k A = k a 11 x k a 21 x ⋮ k a m 1 x       k a 12 x k a 22 x ⋮ k a m 2 x       ⋯ ⋯ ⋮ ⋯       k a 1 n x k a 2 n x ⋮ k a m n x

E:

d d x k A = k a 11 ' x k a 21 ' x ⋮ k a m 1 ' x       k a 12 ' x k a 22 ' x ⋮ k a m 2 ' x       ⋯ ⋯ ⋮ ⋯       k a 1 n ' x k a 2 n ' x ⋮ k a m n ' x

Podemos dizer então que:

d d x k A = k a 11 ' x a 21 ' x ⋮ a m 1 ' x       a 12 ' x a 22 ' x ⋮ a m 2 ' x       ⋯ ⋯ ⋮ ⋯       a 1 n ' x a 2 n ' x ⋮ a m n ' x

Ou seja:

d d x k A = k d A d x

Passo 2

Item (b):

Seja:

A = a 11 x a 21 x ⋮ a m 1 x       a 12 x a 22 x ⋮ a m 2 x       ⋯ ⋯ ⋮ ⋯       a 1 n x a 2 n x ⋮ a m n x

E:

B = b 11 x b 21 x ⋮ b m 1 x       b 12 x b 22 x ⋮ b m 2 x       ⋯ ⋯ ⋮ ⋯       b 1 n x b 2 n x ⋮ b m n x

Portanto:

d A d x = a 11 ' x a 21 ' x ⋮ a m 1 ' x       a 12 ' x a 22 ' x ⋮ a m 2 ' x       ⋯ ⋯ ⋮ ⋯       a 1 n ' x a 2 n ' x ⋮ a m n ' x

E:

d B d x = b 11 ' x b 21 ' x ⋮ b m 1 ' x       b 12 ' x b 22 ' x ⋮ b m 2 ' x       ⋯ ⋯ ⋮ ⋯       b 1 n ' x b 2 n ' x ⋮ b m n ' x

Então A + B será:

A + B = a 11 x a 21 x ⋮ a m 1 x       a 12 x a 22 x ⋮ a m 2 x       ⋯ ⋯ ⋮ ⋯       a 1 n x a 2 n x ⋮ a m n x + b 11 x b 21 x ⋮ b m 1 x       b 12 x b 22 x ⋮ b m 2 x       ⋯ ⋯ ⋮ ⋯       b 1 n x b 2 n x ⋮ b m n x

A + B = a 11 x + b 11 x a 21 x + b 21 x ⋮ a m 1 x + b m 1 x       a 12 x + b 12 x a 22 x + b 22 x ⋮ a m 2 x + b m 2 x       ⋯ ⋯ ⋮ ⋯       a 1 n x + b 1 n x a 2 n x + b 2 n x ⋮ a m n x + b m n x

A derivada será:

d d x A + B = a 11 ' x + b 11 ' x a 21 ' x + b 21 ' x ⋮ a m 1 ' x + b m 1 ' x       a 12 ' x + b 12 ' x a 22 ' x + b 22 ' x ⋮ a m 2 ' x + b m 2 ' x       ⋯ ⋯ ⋮ ⋯       a 1 n ' x + b 1 n ' x a 2 n ' x + b 2 n ' x ⋮ a m n ' x + b m n ' x

Podemos separar em:

d d x A + B = a 11 ' x a 21 ' x ⋮ a m 1 ' x       a 12 ' x a 22 ' x ⋮ a m 2 ' x       ⋯ ⋯ ⋮ ⋯       a 1 n ' x a 2 n ' x ⋮ a m n ' x + b 11 ' x b 21 ' x ⋮ b m 1 ' x       b 12 ' x b 22 ' x ⋮ b m 2 ' x       ⋯ ⋯ ⋮ ⋯       b 1 n ' x b 2 n ' x ⋮ b m n ' x

Ou seja:

d d x A + B = d A d x + d B d x

Passo 3

Item (c):

Seja:

A = a 11 x a 21 x ⋮ a m 1 x       a 12 x a 22 x ⋮ a m 2 x       ⋯ ⋯ ⋮ ⋯       a 1 n x a 2 n x ⋮ a m n x

E:

B = b 11 x b 21 x ⋮ b m 1 x       b 12 x b 22 x ⋮ b m 2 x       ⋯ ⋯ ⋮ ⋯       b 1 n x b 2 n x ⋮ b m n x

Portanto:

d A d x = a 11 ' x a 21 ' x ⋮ a m 1 ' x       a 12 ' x a 22 ' x ⋮ a m 2 ' x       ⋯ ⋯ ⋮ ⋯       a 1 n ' x a 2 n ' x ⋮ a m n ' x

E:

d B d x = b 11 ' x b 21 ' x ⋮ b m 1 ' x       b 12 ' x b 22 ' x ⋮ b m 2 ' x       ⋯ ⋯ ⋮ ⋯       b 1 n ' x b 2 n ' x ⋮ b m n ' x

Então A B será:

A B = a 11 x a 21 x ⋮ a m 1 x       a 12 x a 22 x ⋮ a m 2 x       ⋯ ⋯ ⋮ ⋯       a 1 n x a 2 n x ⋮ a m n x ⋅ b 11 x b 21 x ⋮ b m 1 x       b 12 x b 22 x ⋮ b m 2 x       ⋯ ⋯ ⋮ ⋯       b 1 n x b 2 n x ⋮ b m n x

A B = a 11 x b 11 x a 21 x b 21 x ⋮ a m 1 x b m 1 x       a 12 x b 12 x a 22 x b 22 x ⋮ a m 2 x b m 2 x       ⋯ ⋯ ⋮ ⋯       a 1 n x b 1 n x a 2 n x b 2 n x ⋮ a m n x b m n x

Para aplicar a derivada, precisamos aplicar a regra do produto, onde:

d d x f x ⋅ g x = f ' x g x + f x g ' x

Logo:

d d x A B = a 11 ' x b 11 x + a 11 x b 11 ' x a 21 ' x b 21 x + a 21 x b 21 ' x ⋮ a m 1 ' x b m 1 x + a m 1 x b m 1 ' x       a 12 ' x b 12 x + a 12 x b 12 ' x a 22 ' x b 22 x + a 22 x b 22 ' x ⋮ a m 2 ' x b m 2 x + a m 2 x b m 2 ' x       ⋯ ⋯ ⋮ ⋯       a 1 n ' x b 1 n x + a 1 n x b 1 n ' x a 2 n ' x b 2 n x + a 2 n x b 2 n ' x ⋮ a m n ' x b m n x + a m n x b m n ' x

Podemos separar em:

d d x A B = a 11 ' x b 11 x a 21 ' x b 21 x ⋮ a m 1 ' x b m 1 x       a 12 ' x b 12 x a 22 ' x b 22 x ⋮ a m 2 ' x b m 2 x       ⋯ ⋯ ⋮ ⋯       a 1 n ' x b 1 n x a 2 n ' x b 2 n x ⋮ a m n ' x b m n x + a 11 x b 11 ' x a 21 x b 21 ' x ⋮ a m 1 x b m 1 ' x       a 12 x b 12 ' x a 22 x b 22 ' x ⋮ a m 2 x b m 2 ' x       ⋯ ⋯ ⋮ ⋯       a 1 n x b 1 n ' x a 2 n x b 2 n ' x ⋮ a m n x b m n ' x

Ou seja:

d d x A B = d A d x B + d B d x A

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Sejam E 1 = 1 0 0 ⋮ 0 , E 2 = 0 1 0 ⋮ 0 , … , E n = 0 0 0 ⋮ 1 matrizes nx1 . (a) Mostre que se B = b 11 b 12 … b 1 m b 21 b 22 … b 2 m ⋮ ⋮ … ⋮ b n 1 b n 2 … b n m é uma matriz nxm , então E i t B é ig
Seja A uma matriz nxn . Mostre que se A A t = 0 , então A = 0 . (Sugestão: Use o traço.) E se a matriz A for mxn , com m ≠ n ?
(a)Mostre que se A é uma matriz mxn tal que A X = 0 , para toda matriz X , nx1 , então A = 0 .
Já vimos que o produto de matrizes não é comutativo. Entretanto, certos conjuntos de matrizes são comutativo. Mostre que: (a)Se D 1 e D 2 são matrizes diagonais nxn , então D 1 D 2 = D 2 D 1 .
Seja D = λ 1 0 … 0 0 λ 2 … 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 … 0 λ n uma matriz diagonal nxn , isto é, os elementos que estão fora da diagonal são iguais a zero. Seja A = a 11 a 12 … a 1 n a 21 a 22 … a 2 n ⋮ ⋮ … ⋮ a n 1 a