Se as entradas da matriz C = c 11 x c 21 x ⋮ c m 1 x c 12 x c 22 x ⋮ c m 2 x ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ c 1 n x c 2 n x ⋮ c m n x São funções deriváveis de x , então definimos d C d x = c 11 ' x c 21 ' x ⋮ c m 1 ' x c 12 ' x c 22 x ⋮ c m 2 ' x ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ c 1 n ' x c 2 n ' x ⋮ c m n ' x Mostre que, se as entradas de A e B forem funções deriváveis de x e os tamanhos das matrizes forem tais que as operações estão definidas, então d d x k A = k d A d x d d x A + B = d A d x + d B d x d d x A B = d A d x B + A d B d x Passo 1Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão. Item (a): Seja: A = a 11 x a 21 x ⋮ a m 1 x a 12 x a 22 x ⋮ a m 2 x ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ a 1 n x a 2 n x ⋮ a m n x Então: d A d x = a 11 ' x a 21 ' x ⋮ a m 1 ' x a 12 ' x a 22 ' x ⋮ a m 2 ' x ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ a 1 n ' x a 2 n ' x ⋮ a m n ' x Para encontrar k A , vamos multiplicar k por A : k A = k a 11 x k a 21 x ⋮ k a m 1 x k a 12 x k a 22 x ⋮ k a m 2 x ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ k a 1 n x k a 2 n x ⋮ k a m n x E: d d x k A = k a 11 ' x k a 21 ' x ⋮ k a m 1 ' x k a 12 ' x k a 22 ' x ⋮ k a m 2 ' x ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ k a 1 n ' x k a 2 n ' x ⋮ k a m n ' x Podemos dizer então que: d d x k A = k a 11 ' x a 21 ' x ⋮ a m 1 ' x a 12 ' x a 22 ' x ⋮ a m 2 ' x ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ a 1 n ' x a 2 n ' x ⋮ a m n ' x Ou seja: d d x k A = k d A d x Passo 2Item (b): Seja: A = a 11 x a 21 x ⋮ a m 1 x a 12 x a 22 x ⋮ a m 2 x ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ a 1 n x a 2 n x ⋮ a m n x E: B = b 11 x b 21 x ⋮ b m 1 x b 12 x b 22 x ⋮ b m 2 x ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ b 1 n x b 2 n x ⋮ b m n x Portanto: d A d x = a 11 ' x a 21 ' x ⋮ a m 1 ' x a 12 ' x a 22 ' x ⋮ a m 2 ' x ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ a 1 n ' x a 2 n ' x ⋮ a m n ' x E: d B d x = b 11 ' x b 21 ' x ⋮ b m 1 ' x b 12 ' x b 22 ' x ⋮ b m 2 ' x ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ b 1 n ' x b 2 n ' x ⋮ b m n ' x Então A + B será: A + B = a 11 x a 21 x ⋮ a m 1 x a 12 x a 22 x ⋮ a m 2 x ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ a 1 n x a 2 n x ⋮ a m n x + b 11 x b 21 x ⋮ b m 1 x b 12 x b 22 x ⋮ b m 2 x ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ b 1 n x b 2 n x ⋮ b m n x A + B = a 11 x + b 11 x a 21 x + b 21 x ⋮ a m 1 x + b m 1 x a 12 x + b 12 x a 22 x + b 22 x ⋮ a m 2 x + b m 2 x ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ a 1 n x + b 1 n x a 2 n x + b 2 n x ⋮ a m n x + b m n x A derivada será: d d x A + B = a 11 ' x + b 11 ' x a 21 ' x + b 21 ' x ⋮ a m 1 ' x + b m 1 ' x a 12 ' x + b 12 ' x a 22 ' x + b 22 ' x ⋮ a m 2 ' x + b m 2 ' x ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ a 1 n ' x + b 1 n ' x a 2 n ' x + b 2 n ' x ⋮ a m n ' x + b m n ' x Podemos separar em: d d x A + B = a 11 ' x a 21 ' x ⋮ a m 1 ' x a 12 ' x a 22 ' x ⋮ a m 2 ' x ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ a 1 n ' x a 2 n ' x ⋮ a m n ' x + b 11 ' x b 21 ' x ⋮ b m 1 ' x b 12 ' x b 22 ' x ⋮ b m 2 ' x ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ b 1 n ' x b 2 n ' x ⋮ b m n ' x Ou seja: d d x A + B = d A d x + d B d x Passo 3Item (c): Seja: A = a 11 x a 21 x ⋮ a m 1 x a 12 x a 22 x ⋮ a m 2 x ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ a 1 n x a 2 n x ⋮ a m n x E: B = b 11 x b 21 x ⋮ b m 1 x b 12 x b 22 x ⋮ b m 2 x ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ b 1 n x b 2 n x ⋮ b m n x Portanto: d A d x = a 11 ' x a 21 ' x ⋮ a m 1 ' x a 12 ' x a 22 ' x ⋮ a m 2 ' x ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ a 1 n ' x a 2 n ' x ⋮ a m n ' x E: d B d x = b 11 ' x b 21 ' x ⋮ b m 1 ' x b 12 ' x b 22 ' x ⋮ b m 2 ' x ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ b 1 n ' x b 2 n ' x ⋮ b m n ' x Então A B será: A B = a 11 x a 21 x ⋮ a m 1 x a 12 x a 22 x ⋮ a m 2 x ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ a 1 n x a 2 n x ⋮ a m n x ⋅ b 11 x b 21 x ⋮ b m 1 x b 12 x b 22 x ⋮ b m 2 x ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ b 1 n x b 2 n x ⋮ b m n x A B = a 11 x b 11 x a 21 x b 21 x ⋮ a m 1 x b m 1 x a 12 x b 12 x a 22 x b 22 x ⋮ a m 2 x b m 2 x ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ a 1 n x b 1 n x a 2 n x b 2 n x ⋮ a m n x b m n x Para aplicar a derivada, precisamos aplicar a regra do produto, onde: d d x f x ⋅ g x = f ' x g x + f x g ' x Logo: d d x A B = a 11 ' x b 11 x + a 11 x b 11 ' x a 21 ' x b 21 x + a 21 x b 21 ' x ⋮ a m 1 ' x b m 1 x + a m 1 x b m 1 ' x a 12 ' x b 12 x + a 12 x b 12 ' x a 22 ' x b 22 x + a 22 x b 22 ' x ⋮ a m 2 ' x b m 2 x + a m 2 x b m 2 ' x ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ a 1 n ' x b 1 n x + a 1 n x b 1 n ' x a 2 n ' x b 2 n x + a 2 n x b 2 n ' x ⋮ a m n ' x b m n x + a m n x b m n ' x Podemos separar em: d d x A B = a 11 ' x b 11 x a 21 ' x b 21 x ⋮ a m 1 ' x b m 1 x a 12 ' x b 12 x a 22 ' x b 22 x ⋮ a m 2 ' x b m 2 x ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ a 1 n ' x b 1 n x a 2 n ' x b 2 n x ⋮ a m n ' x b m n x + a 11 x b 11 ' x a 21 x b 21 ' x ⋮ a m 1 x b m 1 ' x a 12 x b 12 ' x a 22 x b 22 ' x ⋮ a m 2 x b m 2 ' x ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ a 1 n x b 1 n ' x a 2 n x b 2 n ' x ⋮ a m n x b m n ' x Ou seja: d d x A B = d A d x B + d B d x A RespostaEi, a resposta está no passo a passo :)MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAVer Outros Exercícios desse livroExercícios de Livros RelacionadosSejam E 1 = 1 0 0 ⋮ 0 , E 2 = 0 1 0 ⋮ 0 , … , E n = 0 0 0 ⋮ 1 matrizes nx1 . (a) Mostre que se B = b 11 b 12 … b 1 m b 21 b 22 … b 2 m ⋮ ⋮ … ⋮ b n 1 b n 2 … b n m é uma matriz nxm , então E i t B é igSeja A uma matriz nxn . Mostre que se A A t = 0 , então A = 0 . (Sugestão: Use o traço.) E se a matriz A for mxn , com m ≠ n ?(a)Mostre que se A é uma matriz mxn tal que A X = 0 , para toda matriz X , nx1 , então A = 0 .Já vimos que o produto de matrizes não é comutativo. Entretanto, certos conjuntos de matrizes são comutativo. Mostre que: (a)Se D 1 e D 2 são matrizes diagonais nxn , então D 1 D 2 = D 2 D 1 .Seja D = λ 1 0 … 0 0 λ 2 … 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 … 0 λ n uma matriz diagonal nxn , isto é, os elementos que estão fora da diagonal são iguais a zero. Seja A = a 11 a 12 … a 1 n a 21 a 22 … a 2 n ⋮ ⋮ … ⋮ a n 1 aVer TambémVer Livro Anton - Álgebra LinearVer tudo sobre Matrizes e Sistemas LinearesLista de exercícios de Operações com MatrizesVer exercício 1.Exercícios Suplementares - 20Ver exercício 1.Exercícios Suplementares - 21