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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 1.1 - Ex. 20a

  1. Mostre que se A é uma matriz mxn tal que AX = 0, para toda matriz X, nx1, então A = 0.

Passo 1

Seja A uma matriz mxn, de forma que:

A =   a 11 a 12 a 21 a 22 ⋯ ⋯ a 1 n a 2 n     ⋮   ⋯ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n

Além disso, X é uma matriz nx1, tal que:

X = x 1 ⋮ x n

Passo 2

Desenvolvendo o produto matricial AX:

A X =   a 11 a 12 a 21 a 22 ⋯ ⋯ a 1 n a 2 n     ⋮   ⋯ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ∙ x 1 ⋮ x n = 0

A X = a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + … + a 1 n x n a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + … + a 2 n x n ⋮ a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + a m 3 x 3 + … + a m n x n = 0  

Passo 3

Dado que AX = 0 para toda matriz X, considerando uma matriz X tal que x 1 = x 2 = … = x n = 1 :

A X = a 11 + a 12 + a 13 + … + a 1 n a 21 + a 22 + a 23 + … + a 2 n ⋮ a m 1 + a m 2 + a m 3 + … + a m n = 0

Dessa forma, as duas únicas formas da igualdade ser real são: A ser uma matriz nula, ou todos os elementos de cada linha se cancelarem.

Assumindo uma matriz X tal que x 1 = a 11 ,   x 2 = a 12 , … ,   x n = a 1 n , os elementos da primeira linha de AX seriam todos números elevados ao quadrado, ou seja, números necessariamente não negativos. Dessa forma, seria impossível que os elementos da linha da matriz se cancelassem. Ou seja: a única forma de AX = 0 seria se A fosse uma matriz nula.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercícios de Livros Relacionados

Tente descobrir outras situações concretas que possam ser analisadas de modo similar ao de cada um dos problemas 15 , 16 e 17 .
Considere as seguintes matrizes. A = - 3 2 1 1 2 - 1 , B = 2 - 1 2 0 0 3 , C = 2 1 - 1 0 1 1 - 1 0 1 , D = d 1 0 0 0 d 2 0 0 0 d 3 , E 1 = 1 0 0 , E 2 = 0 1 0 e E 3 = 0 0 1 .Verifique que: C D = [ d 1
Considere as seguintes matrizes A = 2 0 6 7 , B = 0 4 2 - 8 , C = - 6 9 - 7 7 - 3 - 2 , D = - 6 4 0 1 1 4 - 6 0 6 e E = 6 9 - 9 - 1 0 - 4 - 6 0 - 1 Se for possível calcule:
Considere as seguintes matrizes. A = - 3 2 1 1 2 - 1 , B = 2 - 1 2 0 0 3 , C = 2 1 - 1 0 1 1 - 1 0 1 , D = d 1 0 0 0 d 2 0 0 0 d 3 , E 1 = 1 0 0 , E 2 = 0 1 0 e E 3 = 0 0 1 .Verifique que: A E j e a j
Considere as seguintes matrizes. A = - 3 2 1 1 2 - 1 , B = 2 - 1 2 0 0 3 , C = - 2 1 - 1 0 1 1 - 1 0 1 , D = d 1 0 0 0 d 2 0 0 0 d 3 , E 1 = 1 0 0 , E 2 = 0 1 0 e E 3 = 0 0 1 .Verifique que: Escrevend