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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 1.1 - Ex. 3c

Considere as seguintes matrizes.

A = - 3 2 1 1 2 - 1 ,   B = 2 - 1 2 0 0 3 ,   C = 2 1 - 1 0 1 1 - 1 0 1 ,   D = d 1 0 0 0 d 2 0 0 0 d 3   , E 1 = 1 0 0 , E 2 = 0 1 0 e E 3 = 0 0 1 .

Verifique que: C D = [ d 1 C 1   d 2 C 2   d 3 C 3 ] , em que C 1 = - 2 0 - 1 , C 2 = 1 1 0 , C 3 = - 1 1 1 , são as colunas de C .

Passo 1

Iae, meus queridos! Td certinho??

Essa questão é bem tranquilinha, foi solicitado para provar que C D é igual [ d 1 C 1   d 2 C 2   d 3 C 3 ] .

Vamos lá!

Vamos calcular C D primeiramente.

C D = - 2 1 - 1 0 1 1 - 1 0 1 · d 1 0 0 0 d 2 0 0 0 d 3  

C D = - 2 d 1 + 0 + 0 0 + 1 d 2 + 0 0 + 0 + ( - 1 ) d 3 0 d 1 + 0 + 0 0 + 1 d 2 + 0 0 + 0 + 1 d 3 - 1 d 1 + 0 + 0 0 + 0 d 2 + 0 0 + 0 + 1 d 3

C D = - 2 d 1 1 d 2 - 1 d 3 0 d 1 1 d 2 1 d 3 - 1 d 1 0 d 2 1 d 3

Vamos calcular d 1 C 1 , d 2 C 2 e d 3 C 3 .

d 1 C 1 = d 1 - 2 0 - 1 = - 2 d 1 0 - 1 d 1

d 2 C 2 = d 2 1 1 0 = 1 d 2 1 d 2 0

d 3 C 3 = d 3 - 1 1 1 = - 1 d 3 1 d 3 1 d 3

Por fim, verificamos se C D = [ d 1 C 1   d 2 C 2   d 3 C 3 ] .

- 2 d 1 1 d 2 - 1 d 3 0 1 d 2 1 d 3 - 1 d 1 0 1 d 3 = - 2 d 1 0 - 1 d 1 1 d 2 1 d 2 0 - 1 d 3 1 d 3 1 d 3

Provamos a igualdade!

Foi moleza? Tenho ctz que achou, bora pra outra!

Resposta

- 2 d 1 1 d 2 - 1 d 3 0 1 d 2 1 d 3 - 1 d 1 0 1 d 3 = - 2 d 1 0 - 1 d 1 1 d 2 1 d 2 0 - 1 d 3 1 d 3 1 d 3

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Explique por que, em geral, A + B 2 ≠ A 2 + 2 A B + B 2 e A + B A - B ≠ A 2 - B 2 .
Se A é uma matriz simétrica, então A - A ' é igual a?
Se A é uma matriz triangular superior, então A ' é igual a?
Se A é uma matriz diagonal, então A ' é igual a?
Dados A = 1 - 3 2 2 1 - 3 4 - 3 - 1 , B = 1 4 2 1 1 - 2 1 0 1 1 1 2 e C = 2 1 3 - 2 2 - 5 - 1 - 2 - 1 - 1 - 1 0 mostre que A B = A C .