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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 6.2 - Ex. 3

Mostre que se A é uma matriz ortogonal, então det (A) = +- 1 .

Passo 1

E aí, aluno?! Vamos para mais uma questão!

Se a matriz é ortogonal, sabemos que

A^t = A^(- 1)

Passo 2

Podemos, então, aplicar o determinante de ambos os lados, de forma que

det ( A^t ) = det ( A^(- 1) )

Pelas propriedades matriciais e propriedades dos determinantes, é fato que

det ( A^t ) = det ( A )

Além disso,

det (A^(- 1)) = (1)/(det (A))

Substituindo na primeira relação encontrada entre os determinantes>

det ( A^t ) = det ( A^(- 1) ) -> det ( A ) = (1)/(det (A))

Passo 3

Manipulando algebricamente a expressão encontrada:

det ( A ) = (1)/(det (A)) -> det (A) det (A) = 1

( det (A) )^2 = 1

Tirando a raiz:

det (A) = sqrt(1)

det (A) = +- 1

Resposta

Demonstração.

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