Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 2.2 - Ex. 21
Mostre que o determinante de Vandermonde é dado por
A expressão à direita significa o produto de todos os termos , tais que i>j, j = 1, ..., n.
Passo 1
E aí, aluno?! Vamos para mais uma questão!
A matriz de Vandermonde é tal que
Aplicando uma eliminação na primeira coluna dessa matriz:
Passo 2
Agora, com base na eliminação de colunas:
Temos que
E, ainda,
Realizando a operação
Podemos, então, repetir esse processo até a segunda coluna, de modo que:
Passo 3
Realizando a substituição na matriz dada inicialmente, obtemos:
Dessa maneira, aplicando o determinante:
Que pode ser reescrito como
Resposta
Demonstração.
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Sejam A e P matrizes nxn, sendo P invertível. Mostre que det P - 1 A P = det ( A ) .
Sejam A, B e D matrizes, pxp, px(n-p) e (n-p)x(n-p), respectivamente. Mostre que det A B 0 D = det A det ( D )
b) Mostre que se uma linha A i de uma matriz A = ( a i j ) n x n é tal que A i =α A k + β A l , para α e β escalares e i ≠ k ,l , então det(A) = 0.
Mostre que se uma linha A i de uma matriz A = ( a i j ) n x n é tal que A i = ∑ k ≠ i α k A k , para α 1 , … ,α k escalares, então det(A) = 0.
Mostre que se uma matriz A =( a i j ) n x n é triangular superior, (isto é, os elementos situados abaixo da diagonal são iguais a zero) então det ( A ) =a 11 a 22 … a n n .