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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.4 - Ex. 28

Mostre que se uma matriz quadrada A satisfaz A 2 - 3 A + I = 0 Então A - 1 = 3 I - A .

Passo 1

Nesse exercício galerinha, o enunciado deu pra gente uma equação em função de A , A 2 - 3 A + I = 0 e ela quer que a partir disso a gente prove que A - 1 = 3 I - A . Então nosso objetivo ai é tentar fazer aparecer alguns desses termos na equação.

Passo 2

Primeiro vamos colocar A em evidência

A 2 - 3 A + I = 0 ⇒ A A - 3 I + I = 0

Passando I pro outro lado e multiplicando por ( - 1 )

A A - 3 I + I = 0 ⇒ A A - 3 I =   - I ⇒ - A A - 31 = I ⇒ A 3 I - A = I

Show de bolinhas, agora multiplicando por A - 1 dos dois lados

A 3 I - A = I ⇒ A - 1   A ⏝ I 3 I - A = A - 1   I ⇒ ( 3 I - A ) = A - 1

Poxaan, ai ficou bonito demais. Nossa afirmativa é VERDADEIRA!!!

Resposta

A 2 - 3 A + I = 0 ⇒ A A - 3 I + I = 0 ⇒

⇒ A A - 3 I + I = 0 ⇒ A A - 3 I =   - I ⇒ - A A - 31 = I ⇒ A 3 I - A = I

⇒ A 3 I - A = I ⇒ A - 1   A ⏝ I 3 I - A = A - 1   I ⇒ ( 3 I - A ) = A - 1

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