Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.4 - Ex. 29
- Mostre que uma matriz com uma linha de zeros não pode ter uma inversa.
- Mostre que uma matriz com uma coluna de zeros não pode ter uma inversa.
Passo 1
Nosso enunciado pede pra gente mostrar que uma matriz com uma linha ou com uma coluna de zeros não pode ter uma inversa. Mas pra uma matriz ser invertível temos que encontrar uma matriz que satisfaça
Onde será a inversa de , . Pra isso acontecer, devemos respeitar dois pontos, o primeiro é que tem quer ser uma matriz quadrada, , e o segundo é que o sistema deve ter solução única.
Passo 2
Vimos no capítulo 1.2 que um sistema que possui mais incógnitas do que equações, possui uma infinidade de soluções e se o número de incógnitas e equações forem os mesmos, nosso sistema possui solução única. Supondo que a matriz da letra (a) é quadrada, o número inicial de incógnitas e equações é o mesmo, mas como temos uma linha inteira de zeros, eliminamos uma equação, e agora temos mais incógnitas do que equações, uma variável livre, isso quer dizer que nosso sistema não possui solução única e dessa maneira nunca conseguiremos encontrar um resultado para em . Logo ela é não invertível.
Passo 3
Vimos também no capítulo 1.2 que cada coluna da matriz representa uma incógnita do sistema, nossa letra (b) diz que a nossa matriz agora possui uma coluna inteira de zeros, isso quer dizer que não vou ter informação alguma sobre a variável que corresponde a essa coluna, então ela será uma variável livre, e como acabamos de ver, se o sistema possui alguma variável livre, a solução não será única.