Enunciado

Mostre que X = ( x , y ) é ortogonal a V = ( a , b ) ≠ 0 ̄ V com | | X | | = | | V | | se, e somente se, X = ( - b , a ) ou X = ( b , - a ) .

Passo 1

Galerinha, quando a gente diz que dois vetores são ortogonais, queremos dizer que

X 1 × 2 ⋅ V 2 × 1 = 0

Então,

⎜   x                 y     ⎜ ⎜ a     ⎜ = x a + y b = 0

                                              ⎜ b     ⎜

⇒ x = - b a y

Passo 2

Por outro lado, temos | | X | | = | | V | | , o que significa que

x 2 + y 2 = a 2 + b 2

Vamos substituir x = - b a y nessa equação

b 2 a 2 y 2 + y 2 = a 2 + b 2 ⇒ a 2 + b 2 a 2 y 2 = a 2 + b 2 ⇒ y 2 a 2 = 1 ⇒ y = ± a

⇒ x = ∓ b

Ou seja, temos que ter X = ( - b , a ) ou X = ( b , - a ) . Valeu!

Resposta

Veja a resolução acima.

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