Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 6.2 - Ex. 5c
Mostre que se é uma matriz ortogonal , então existe um número real tal que
ou
A primeira matriz, tem determinante igual a 1, é a matriz de rotação (veja a Subseção 5.4.1 na página 365). Observe que a segunda matriz além de ortogonal é simétrica.
Passo 1
Olá, jovens! Vamos começar seguindo a sugestão do enunciado e usando a matriz
Como essa matriz tem que ser ortogonal, então a inversa dela tem que ser igual a sua transposta, que nesse caso é
Passo 2
A matriz inversa é dada pelo seu determinante, , vezes a matriz de cofatores:
Comparando com a matriz transposta, vemos que devemos ter
e
Substituindo essas duas últimas relações na primeira, obtemos
Passo 3
Agora é que vem o pulo do gato, porque vamos fazer e . Assim, a matriz se torna
Usando o item anterior, podemos ver que
também é uma solução. Basicamente, é isso para essa questão. Até mais!
Resposta
Veja a resolução acima.