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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 4.1 - Ex. 4b

Ache para cada matriz A , se possível, uma matriz não-singular P tal que P - 1 A P seja diagonal:

b) 4 2 3 2 1 2 - 1 - 2 0

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão ele pede para achar para cada matriz A , se possível, uma matriz não-singular P tal que P - 1 A P seja diagonal:

b) 4 2 3 2 1 2 - 1 - 2 0

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Sabendo que a matriz A vale,

4 2 3 2 1 2 - 1 - 2 0

Temos,

B = A - X , ficando

4 - x 2 3 2 1 - x 2 - 1 - 2 - x

Sendo P = det ⁡ ( B ) , temos

P = - 7 x + 51 x 2 + 3 - x 3 , com isso

B 1 = B , x , 1 → 3 2 3 2 0 2 1 - 2 - 1

Escalonando temos,

1 0 1 0 1 0 0 0 0

Já para B 3 = B , x , 3

1 2 3 2 - 2 2 - 1 - 2 - 3

Escalonando temos

1 0 5 3 0 1 2 3 0 0 0

Com isso,

V 1 - α , 0 , α α ∈ R { - 1,0 , 1 } pois é um vetor não nulo e L.I

V 2 = - 5 α , - 2 α , 3 α α ∈ R { - 5 , - 2,3 } sendo um vetor não nulo e L.I

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

V 1 - α , 0 , α α ∈ R { - 1,0 , 1 } pois é um vetor não nulo e L.I

V 2 = - 5 α , - 2 α , 3 α α ∈ R { - 5 , - 2,3 } sendo um vetor não nulo e L.I

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Demonstre que se A é uma matriz triangular superior, então os autovalores de A são os elementos da diagonal principal de A.
Mostre que A é singular se, e somente se, 0 for um autovalor de A.
Seja λ um autovalor de A com autovetor associado X. Demonstre que λ k é um autovalor de A k = A … A associado a X, em que k é um inteiro positivo.
Demonstre que se A e B são semelhantes, então possuem os mesmos polinômios característicos e portanto os mesmo autovalores.
Demonstre que A e A t possuem os mesmos autovalores. O que podemos dizer sobre os autovetores de A e A t .