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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 5.3 - Ex. 11

Mostre que se V é ortogonal a W 1 ,   . . .   ,   W k , então V é ortogonal a qualquer combinação linear de W 1 ,   . . .   ,   W k .

Passo 1

Oiiie, tudo certinho?

Para resolver esta questão vamos nos lembrar a definição de ortogonalidade mais simples que pode ser utilizada neste problema, ou seja:

X ⋅ Y = ∑ i = 1 3 x i y i = 0           ( 1 )

Isso já deve ser o suficiente, vamos lá!

Passo 2

Se temos que V é ortogonal a W i , em que i = 1   . . .   k , portanto, temos que:

V ⋅ W i = 0

pela definição (1) de ortogonalidade. E se tentarmos agora aplicar a definição para uma combinação linear | = a 1 W 1 + a 2 W 2 +   . . . + a k W k   , temos o seguinte:

V ⋅ Z = V ⋅ ( a 1 W 1 + a 2 W 2 +   . . . + a k W k ) =   ?

Vamos relembrar algumas propriedades do produto escalar, belezinha?

Passo 3

Temos que o produto escalar obedece a propriedade de multiplicação por escalar, portanto, temos que:

X ⋅ ( α Y ) = α ( X ⋅ Y )

e a propriedade distributiva, onde:

X ⋅ ( Y + Z ) = X ⋅ Y + X ⋅ Z

portanto, temos que

V ⋅ ( a 1 W 1 + a 2 W 2 +   . . . + a k W k ) = a 1 ( V ⋅ W 1 ) + . . . + a k ( V ⋅ W k ) = 0

Já que V é ortogonal a W i . Sendo assim, também é ortogonal a combinação linear, além disso, como a soma é comutativa, não importa a ordem com a qual são posicionados os vetores, portanto é válido para qualquer combinação linear. A questão é isso, te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

Ao longo dos passos.

Exercícios de Livros Relacionados

Sabendo que os vetores a → , b →ec → são l . i . , determine o menor m tal que u → = a → + b → + c → , v → = 4 a → + m b → + c → e w → = b → + m c → sejam l . d . Com esse m , escreva t → = a → - b →
Sejam u → = m , - 1 , m 2 + 1 , v → = ( m 2 + 1 , m , 0 ) e w → = m , 1,1 . Mostre que C = ( u → , v → , w → ) é uma base de V , independentemente do valor de m .
Seja E = (vec e_1 , vec e_2 , vec e_3) uma base. Sejam vec f_1 = vec e_1 - vec e_2 + vec e_3 , vec f_2 = vec e_2 + vec e_3 e vec f_3 = - 2 vec e_3 (b)Resolva (x , y , z)_E = (3 , - 2,4)_F .
São dados os pontos O e os vetores a → = 1,1 , 0 , b → = ( 0,1 , 1 ) e c → = 2,3 , m . A partir de O , construímos os pontos A , B e C . Sejam O A → = a , → O B → = b → e O C → = c → . (a)calcule m pa
Determine os vetores X e Y , tais que {[[6 X - 2 Y = U],[3 X + Y = U + V]])