Mostre que se V é ortogonal a W 1 ,   . . .   ,   W k , então V é ortogonal a qualquer combinação linear de W 1 ,   . . .   ,   W k .

Passo 1

Oiiie, tudo certinho?

Para resolver esta questão vamos nos lembrar a definição de ortogonalidade mais simples que pode ser utilizada neste problema, ou seja:

X ⋅ Y = ∑ i = 1 3 x i y i = 0           ( 1 )

Isso já deve ser o suficiente, vamos lá!

Passo 2

Se temos que V é ortogonal a W i , em que i = 1   . . .   k , portanto, temos que:

V ⋅ W i = 0

pela definição (1) de ortogonalidade. E se tentarmos agora aplicar a definição para uma combinação linear | = a 1 W 1 + a 2 W 2 +   . . . + a k W k   , temos o seguinte:

V ⋅ Z = V ⋅ ( a 1 W 1 + a 2 W 2 +   . . . + a k W k ) =   ?

Vamos relembrar algumas propriedades do produto escalar, belezinha?

Passo 3

Temos que o produto escalar obedece a propriedade de multiplicação por escalar, portanto, temos que:

X ⋅ ( α Y ) = α ( X ⋅ Y )

e a propriedade distributiva, onde:

X ⋅ ( Y + Z ) = X ⋅ Y + X ⋅ Z

portanto, temos que

V ⋅ ( a 1 W 1 + a 2 W 2 +   . . . + a k W k ) = a 1 ( V ⋅ W 1 ) + . . . + a k ( V ⋅ W k ) = 0

Já que V é ortogonal a W i . Sendo assim, também é ortogonal a combinação linear, além disso, como a soma é comutativa, não importa a ordem com a qual são posicionados os vetores, portanto é válido para qualquer combinação linear. A questão é isso, te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

Ao longo dos passos.

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