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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 5.3 - Ex. 2

Sejam X = ( 1 / 2 , 0,1 / 2 ) e Y = ( a , 1 / 2 , - b ) . Para quais valores de a e b , o conjunto { X , Y } é ortonormal?

Passo 1

Oiiie, tudo certinho?

Para resolver esta questão vamos nos lembrar a definição de ortogonalidade mais simples que pode ser utilizada neste problema, ou seja:

X ⋅ Y = ∑ i = 1 3 x i y i = 0           ( 1 )

E também é necessário que | | X | | = 1 e | | Y | | = 1 , para que eles sejam normalizados. A definição de norma é dada por:

| | X | | = ∑ i = 1 3 x i 2           ( 2 )

Vamos lá então!

Passo 2

Utilizando os vetores dados no enunciado junto com a definição (1) temos:

( 1 / 2 ) × a + ( 0 ) × ( 1 / 2 ) + ( 1 / 2 ) × ( - b ) = a / 2 - b / 2 = 0 → a = b           ( 3 )

Agora precisamos calcular a norma de cada um dos vetores individualmente! E ver o próximo vínculo para a normalização!

Passo 3

Aplicando a definição (2), temos:

| | X | | = ( 1 2 ) 2 + 0 2 + ( 1 2 ) 2 = 1 2 + 1 2 = 1 = 1          

Portanto X já está normalizado, vamos verificar Y :

| | Y | | = ( a ) 2 + ( 1 2 ) 2 + ( - b ) 2 = a 2 + 1 2 + b 2 = 1           ( 4 )          

Utilizando (3) em (4) temos:

2 a 2 + 1 2 = 1 → 2 a 2 + 1 2 = 1 → 2 a 2 = 1 2 → a = ± 1 2 = b

Portanto, esta é a condição para a ortonormalidade, te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

a = b = ± 1 / 2

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