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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 1.6 - Ex. 2

É observado que as probabilidades de um time de futebol ganhar, perder e empatar uma partida depois de conseguir uma vitória são 1 2 , 1 5 e 3 10 respectivamente; e depois de ser derrotado são 3 10 , 3 10 e 2 5 , respectivamente; e depois de empatar são 1 5 , 2 5 e 2 5 , respectivamente. Se o time não melhorar nem piorar, conseguirá mais vitórias que derrotas a longo prazo?

Passo 1

Antes de mais nada precisamos nos organizar, rs!!

Vamos montar a matriz considerando ganhar uma partida com os dados que deram pra gente no enunciado:

1 2   1 5   3 10

Beleza?!

Da mesma forma, vamos montar a matriz considerando perder uma partida depois de ser derrotado:

1 2 3 10 1 5 3 10 3 10 2 5

Por fim, vamos montar a matriz considerando empatar uma partida:

1 2 3 10 1 5 1 5 3 10 2 5 3 10 2 5 2 5

Show de bola?!

Passo 2

Agora vamos aplicar o Teorema 1.5 . 4 que está na página 18. O teorema diz que se a matriz quadrada das probabilidades de transição é regular, ou seja, tem todos os elementos estritamente positivos, então é possível fazer que quaisquer que sejam as probabilidades iniciais, as probabilidades a longo prazo são dadas por:

G P E = 1 2 3 10 1 5 1 5 3 10 2 5 3 10 2 5 2 5 ⋅ G P E

Beleza?!

Resolvendo a multiplicação vamos ter:

G P E = 0,5 G + 0,3 P + 0,2 E 0,2 G + 0,3 P + 0,4 E 0,3 G + 0,4 P + 0,4 E

Agora é só resolver o sistema:

0,5 G + 0,3 P + 0,2 E = G 0,2 G + 0,3 P + 0,4 E = P 0,3 G + 0,4 P + 0,4 E = E → - 0,5 G + 0,3 P + 0,2 E = 0 0,2 G - 0,7 P + 0,4 E = 0 0,3 G + 0,4 P - 0,6 E = 0

- 0,5 0,3 0,2 0,2 - 0,7 0,4 0,3 0,4 - 0,6

Showzin?! Agora falta usarmos a informação

G + P + E = 1

Pronto! Assim ficamos com o seguinte:

- 0,5 0,3 0,2 0,2 - 0,7 0,4 0,3 1 0,4 1 - 0,6 1       0 0 0 1 = - 1 2 3 10 1 5 1 5 - 7 10 2 5 3 10 1 2 5 1 - 3 5 1       0 0 0 1

Passo 3

Próximo passo é resolver transformando em uma matriz na forma escalonada:

Primeiro fazemos L 2 = 2 5 L 1 + L 2 :

- 1 2 3 10 1 5 0 - 29 50 12 25 3 10 1 2 5 1 - 3 5 1       0 0 0 1

Fazendo L 3 = 3 5 L 1 + L 3 :

- 1 2 3 10 1 5 0 - 29 50 12 25 0 1 29 50 1 - 12 25 1       0 0 0 1

Agora com L 4 = 2 L 1 + L 4 :

- 1 2 3 10 1 5 0 - 29 50 12 25 0 0 29 50 8 5 - 12 25 7 5       0 0 0 1

Fazendo L 3 = L 2 + L 3 :

- 1 2 3 10 1 5 0 - 29 50 12 25 0 0 0 8 5 0 7 5       0 0 0 1

Por último L 4 = 80 29 L 2 + L 4 :

- 1 2 3 10 1 5 0 - 29 50 12 25 0 0 0 0 0 79 29       0 0 0 1

Ufa, chegamos ao sistema:

- 1 2 G + 3 10 P + 1 5 E = 0 - 29 50 P + 12 25 E = 0 79 29 E = 1

Agora é só resolver o sisteminha. Assim, temos que:

E = 29 79

Para encontrar o valor de P :

- 29 50 P + 12 25 E = 0

→ 29 50 P = 12 25 E

→ P = 50 ⋅ 12 25 ⋅ 29 ⋅ 29 79

Logo,

P = 24 79

Da mesma forma,

- 1 2 G + 3 10 P + 1 5 E = 0

→ 1 2 G = 3 10 P + 1 5 E

→ 1 2 G = 3 10 ⋅ 24 79 + 1 5 ⋅ 29 79

Logo,

→ G = 26 79

Pronto, as probabilidades de ganhar, perder e empatar, a longo prazo, são aproximadamente iguais, sendo a probabilidade de empatar ligeiramente maior.

Beleza?!

Resposta

As probabilidades de ganhar, perder e empatar, a longo prazo, são aproximadamente iguais, sendo a probabilidade de empatar ligeiramente maior.

E = 29 79

P = 24 79

G = 26 79

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