Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 25.Exercício - Ex. 39
Obtenha uma equação do lugar geométrico dos pontos que são equidistantes de e , e identifique-o.
Passo 1
Vamos começar procurando a fórmula para d distância entre um ponto qualquer:
E a reta com vetor diretor e um ponto .
Nesse caso, a fórmula para a distância do ponto à reta é:
Para calcular isso, vamos começar procurando , sabendo que na reta do enunciado, temos :
Então aquele produto vetorial, sabendo que é:
E a norma desse vetor é:
E a norma do vetor é:
Ou seja:
Passo 2
E como calculamos a distância do nosso ponto até a origem? Agora é só usar a fórmula de sempre:
E se a gente quer que essas duas distâncias sejam iguais:
Elevando tudo ao quadrado:
Podemos subtrair e dos dois lados:
E essa é a equação do lugar geométrico dos pontos que estão à mesma distância de e de .
E que lugar geométrico é esse? Como temos só duas variáveis, sendo uma elevada ao quadrado e a outra linear, é uma quádrica cilíndrica parabólica.
Resposta
O lugar geométrico é uma superfície quádrica cilíndrica parabólica.