Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 24.Exercício - Ex. 10e
Nos casos em que o lugar geométrico é uma superfície esférica determine o centro e o raio.
(a) Lugar geométrico dos pontos de tais que e sejam ortogonais, sendo , .
Passo 1
Vamos tentar resolver esse problema só usando um pouco de álgebra.
O nosso ponto é:
E então o vetor é:
E o vetor é:
Beleza, já temos as formas gerais dos vetores.
Passo 2
A ideia do enunciado é que esses dois vetores sejam ortogonais, ou seja:
O produto interno tem que ser nulo! Lembrando que o produto interno de dois vetores é:
Então:
Arrumando um pouco:
Mas ainda precisamos melhorar mais!
Passo 3
Vamos usar o método de completar quadrados:
Começando pelos termos que dependem de :
Então somando dos dois lados:
E para os termos que dependem de :
Então somando dos dois lados:
Beleza, agora já está bem melhor! Já dá pra identificar o centro e o raio.
Lembrando que se uma esfera tem centro e raio , a equação é:
Então, olhando para a nossa equação:
Então:
Resposta
O centro da esfera é e o raio é .