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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 9.Problemas propostos - Ex. 7h

7. Identificar as superfícies definidas pelas equações, dizendo ao longo de que eixo elas ocorrem, conforme o caso.

h )   z = 4 + 4 x 2 + 4 y 2

Passo 1

L e t r a   h :

Fala aí! Nesse exercício daqui estaremos trabalhando a seguinte equação:

z = 4 + 4 x 2 + 4 y 2

POXA! Eu não sei se você está com as mesmas impressões que eu, mas se estiver, vai estar desconfiado de que esta equação nos representa um hiperboloide, heim? Afinal temos um 4 sendo somado ali. Vamos ver se é isso mesmo?

Passo 2

Podemos aqui, para verificar, levar essa equação para a sua forma clássica:

± x 2 a 2 ± y 2 b 2 ± z 2 c 2 = 1

Para transformar o z em z 2 , vamos elevar todo mundo ao quadrado...

z 2 = 4 + 4 x 2 + 4 y 2     →

Dividindo todo mundo por 4 ...

z 2 2 2 = 1 + x 2 + y 2   →

- x 2 - y 2 + z 2 2 2 = 1

AHA!!! De acordo com a teoria, se temos um sinal de - -   + , então estamos falando de um hiperboloide de duas folhas ao redor de z que tem como definição:

- x 2 a 2 - y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1

No nosso caso, a = 1 , b = 1 e c = 2 .

Lembre-se de que o paraboloide de duas folhas basta desenhar dois paraboloides, um pra cima e outro pra baixo.

OBS: Essa ainda não é a resposta, já que estamos trabalhando a parte da raiz positiva z = 4 + 4 x 2 + 4 y 2

Então, o que isso realmente significa é que o nosso desenho deve ser somente a parte de cima ;)

Resposta

Parte de cima de um paraboloide de 2 folhas ao redor de z .

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Prove que as equações abaixo descrevem paraboloides elípticos e esboce-os. x = y 2 a 2 + z 2 b 2 x = - y 2 a 2 - z 2 b 2 y = x 2 a 2 + z 2 b 2 y = - x 2 a 2 - z 2 b 2 z = - x 2 a 2 - y 2 b 2
Considere as selas Ω 1 : z = - x 2 a 2 + y 2 b 2 e Ω 2 : z = x 2 a 2 - y 2 b 2 . Como os segundos membros das equações são opostos um do outro, o esboço de Ω 2 pode ser obtido “virando de ponta-cabeça
Prove que são selas as quádricas descritas pelas equações x = y 2 a 2 - z 2 b 2 x = - y 2 a 2 + z 2 b 2 y = x 2 a 2 - z 2 b 2 y = - x 2 a 2 + z 2 b 2 z = x 2 a 2 - y 2 b 2
Prove que o paraboloide hiperbólico Ω : z = - x 2 a 2 + y 2 b 2 é uma superfície regrada, exibindo um conjunto de retas cuja reunião seja Ω . No caso particular em que a = b = 1 , obtenha vetores dire
Identificar as quádricas representadas pelas equações x 2 + y 2 = 9