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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 26.Exercício - Ex. 10c

Obtenha uma equação da superfície gerada pela rotação da curva Γ em torno da reta r .

  1. Γ : x 2 + 2 y 2 = 1 y - z = 0 r : x = z - 1 = 0
  2. Γ : x - 1 = y z = 0 r : x = y = z
  3. Γ : x - y = 0 z = 0 r : x = y = z

Passo 1

Precisamos obter uma superfície de revolução obtida pela rotação de Γ em torno de r .

Antes de podermos montar o sistema de equação que caracteriza a superfície Ω , vamos escrever a reta r na sua forma vetorial, pois precisamos de um ponto seu e do seu vetor diretor.

A reta r é dada por:

r : x = z y = z

Portanto, a reta r possui a seguinte equação vetorial:

r : X = x , y , z

r : X = z , z , z

r : X = 0,0 , 0 + z , z , z

r : X = 0,0 , 0 + z 1,1 , 1

r : X = 0,0 , 0 + λ 1,1 , 1

Por fim, o vetor diretor da reta r é r → = 1,1 , 1 e vamos utilizar o ponto A = 0,0 , 0 da reta.

Passo 2

Agora que obtemos um ponto da reta e seu vetor diretor, já podemos montar o sistema de equações que precisamos resolver.

Para isto, começamos definindo um paralelo. Ele é uma circunferência. Logo, obtido através da interseção de uma superfície esférica e de um plano! Mas qual superfície esférica? E qual plano?

Continuando, o paralelo é uma circunferência centrada na reta r (algum ponto de r será o centro da superfície esférica) e continua em um plano perpendicular a r (vetor diretor da reta será o vetor normal do).

Portanto, ao utilizarmos A = 0,0 , 0 e r → = 1,1 , 1 , o paralelo será dado por:

x 2 + y 2 + z 2 = ρ 2 x + y + z = λ

Continuando, seja X um ponto de coordenadas X = x , y , z . Ele pertence a Ω se, e somente se, X pertence a um paralelo que passa por um ponto Q = u , v , w , ponto este que pertence a curva Γ .

Bom, temos três informações importantes do texto acima. Elas são:

  • X = x , y , z pertence ao paralelo, logo, satisfaz o sistema de equação (2 equações);
  • Q = u , v , w pertence ao paralelo, logo, satisfaz o sistema de equação (2 equações);
  • Q = u , v , w pertence a Γ , logo, satisfaz o sistema de equação (2 equações);

No total, temos 6 equações, e o seguinte sistema para resolver:

x 2 + y 2 + z 2 = ρ 2 x + y + z = λ u 2 + v 2 + w 2 = ρ 2 u + v + w = λ u - v = 0 w = 0

Percebam que as equações de Q pertencentes ao paralelo e a Γ foram obtidas ao substituirmos no lugar de x , y e z as coordenadas u , v e w do ponto Q .

Passo 3

Nosso trabalho agora é conseguir resolver o sistema de 6 equações, obtendo assim uma única equação sem os parâmetros livres λ e ρ . Então, vamos ao sistema.

Nosso objetivo será conseguir relacionar ρ 2 com λ , inicialmente. Depois, iremos substituir a relação λ = y , da segunda equação no nosso sistema.

Já com uma função ρ 2 = f x , y , z , substituímos na primeira equação e assim conseguimos uma equação livre de parâmetros.

Como w = 0 , vamos substituir na quarta equação e trabalha apenas com ela e com a quinta. Isto é,

u + v = λ u - v = 0

Resolvendo, temos:

u = λ 2

v = λ 2

Substituindo as duas relações na terceira equação, temos:

u 2 + v 2 + w 2 = ρ 2

λ 2 2 + λ 2 2 + 0 2 = ρ 2

λ 2 2 = ρ 2

Mas como λ = x + y + z , temos:

x + y + z 2 2 = ρ 2

Portanto,

x 2 + y 2 + z 2 = ρ 2

x 2 + y 2 + z 2 = x + y + z 2 2

x + y + z 2 - 2 x 2 + y 2 + z 2 = 0

Passo 4

Para finalizarmos, basta escrevermos as restrições dos parâmetros livres λ e ρ (consequentemente, do sistema). Logo

x + y + z = λ ≥ 0 ρ 2 = λ 2 2 = x + y + z 2 2 ≥ 0

Como, independentemente do valor de x , y e z , o parâmetro ρ 2 sempre será maior do que zero, o sistema não possui nenhuma restrição. Portanto, a solução da questão é exatamente:

Ω : x + y + z 2 - 2 x 2 + y 2 + z 2 = 0

Resposta

Ω : x + y + z 2 - 2 x 2 + y 2 + z 2 = 0

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