Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 26.Exercício - Ex. 16
Obtenha uma equação da superfície gerada pela rotação, em torno de , da curva interseção das superfícies e .
Passo 1
Precisamos obter uma superfície de revolução obtida pela rotação de em torno de . A curva é a solução do seguinte sistema:
Já a reta, em torno da qual rotacionaremos , é o eixo . Portanto,
Por fim, o vetor diretor da reta é e vamos utilizar o ponto da reta.
Passo 2
Agora que obtemos um ponto da reta e seu vetor diretor, já podemos montar o sistema de equações que precisamos resolver.
Para isto, começamos definindo um paralelo. Ele é uma circunferência. Logo, obtido através da interseção de uma superfície esférica e de um plano! Mas qual superfície esférica? E qual plano?
Continuando, o paralelo é uma circunferência centrada na reta (algum ponto de será o centro da superfície esférica) e continua em um plano perpendicular a (vetor diretor da reta será o vetor normal do).
Portanto, ao utilizarmos e , o paralelo será dado por:
Continuando, seja um ponto de coordenadas . Ele pertence a se, e somente se, pertence a um paralelo que passa por um ponto , ponto este que pertence a curva .
Bom, temos três informações importantes do texto acima. Elas são:
- pertence ao paralelo, logo, satisfaz o sistema de equação (2 equações);
- pertence ao paralelo, logo, satisfaz o sistema de equação (2 equações);
- pertence a , logo, satisfaz o sistema de equação (2 equações);
No total, temos 6 equações, e o seguinte sistema para resolver:
Percebam que as equações de pertencentes ao paralelo e a foram obtidas ao substituirmos no lugar de , e as coordenadas , e do ponto .
Passo 3
Nosso trabalho agora é conseguir resolver o sistema de 6 equações, obtendo assim uma única equação sem os parâmetros livres e . Então, vamos ao sistema.
Nosso objetivo será conseguir relacionar com , inicialmente. Depois, iremos substituir a relação , da segunda equação no nosso sistema.
Já com uma função , substituímos na primeira equação e assim conseguimos uma equação livre de parâmetros.
Substituindo na quinta equação, temos:
Como , e , ao substituir na terceira equação, temos:
Mas como , temos:
Portanto,
Passo 4
Para finalizarmos, basta escrevermos as restrições dos parâmetros livres e (consequentemente, do sistema). Logo
Como, independentemente do valor de , o parâmetro sempre será maior do que zero, o sistema não possui nenhuma restrição. Portanto, a solução da questão é exatamente: