Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 26.Exercício - Ex. 9a
- Obtenha uma equação livre de parâmetros para a superfície , reunião das retas paralelas ou contidas em e concorrentes com que interceptam a circunferência de centro , raio , contida no plano . Tente visualizar a superfície.
- Obtenha uma equação livre de parâmetros para o conóide de plano diretor cuja diretriz é a interseção dos planos de equações e , sabendo que é a reta dos vértices
Passo 1
O enunciado da questão é exatamente a definição de um conóide. Então, vamos obter as equações da curva e das retas.
Uma circunferência é obtida pela interseção de um plano e uma superfície esférica. Como sabemos o plano em que a circunferência está contida, já temos uma parte do sistema.
Para finalizarmos, vamos compor uma superfície esférica. Ela estará centrada no centro da circunferência e tem como raio o raio da circunferência. Portanto,
Seja . Se , então, . Portanto, o ponto tem coordenadas .
Já os pontos do eixo são dados por . Se queremos uma reta que passa por e por (concorrente com ) e é paralela/contida em , temos que satisfazer a seguinte relação:
Portanto, a reta possui a seguinte equação:
Passo 2
Agora, precisamos montar o sistema de equação que nos dará a superfície que estamos buscando. Para que façamos isto, vamos precisar trabalhar simultaneamente com a ideia de superfícies cônicas e superfícies cilíndricas.
Então, vamos começar realizando o passo a passo das superfícies cônicas, sabendo que o vértice pertence ao eixo , resultado decorrente do enunciado. Logo, .
Seja um ponto de coordenadas . Ele pertence a se, e somente se, existe um ponto que pertence a e . Só que quem é o vetor ? Ele será exatamente um vetor paralelo a .
Desta forma, podemos escrever a seguinte relação:
Portanto, se pertence a , temos:
E, se , também temos:
Portanto, o sistema que devemos resolver consiste destas 5 equações. Logo,
Misturamos aqui o desenvolvimento das duas superfícies.
Passo 3
Iremos resolver o sistema de 5 equações obtidas no final do Passo anterior. Para isto, vamos substituir as três últimas equações nas duas primeiras. Obteremos então:
Vamos desenvolver a segunda equação para conseguir isolar o parâmetro . Portanto,
Portanto, a equação livre de parâmetros que buscamos é:
Passo 4
Para finalizarmos a questão, temos que descrever os vértices. Isto decorre do fato da equação de obtida no final do passo anterior não conter os vértices (pontos do eixo ).
Mas será se são todos os pontos do eixo ? Ou são apenas alguns deles?
Para resolver este dilema, precisamos lembrar da curva e da reta , as restrições impostas a ela.
Como só existe para e o vetor passa pelo eixo e pela curva , significa dizer que os vértices tem coordenadas tais que . Agora sim finalizamos a nossa questão.
Resposta
A solução é dada pela superfície
Mais os vértices tais que