Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 26.Exercício - Ex. 9b
- Obtenha uma equação livre de parâmetros para a superfície , reunião das retas paralelas ou contidas em e concorrentes com que interceptam a circunferência de centro , raio , contida no plano . Tente visualizar a superfície.
- Obtenha uma equação livre de parâmetros para o conóide de plano diretor cuja diretriz é a interseção dos planos de equações e , sabendo que é a reta dos vértices
Passo 1
O enunciado da questão é exatamente a definição de um conóide. Então, vamos obter as equações da curva e das retas.
A curva diretriz será a solução do seguinte sistema:
Seja . Se , então, e . Portanto, o ponto tem coordenadas .
Já os pontos do eixo são dados por . Se queremos uma reta que passa por e por (concorrente com ) e é paralela/contida em , temos que satisfazer a seguinte relação:
Portanto, a reta possui a seguinte equação:
Passo 2
Agora, precisamos montar o sistema de equação que nos dará a superfície que estamos buscando. Para que façamos isto, vamos precisar trabalhar simultaneamente com a ideia de superfícies cônicas e superfícies cilíndricas.
Seja um ponto de coordenadas . Ele pertence a se, e somente se, existe um ponto que pertence a e .
Portanto, se pertence a , temos:
E, se , também temos:
Portanto, o sistema que devemos resolver consiste destas 5 equações. Logo,
Passo 3
Iremos resolver o sistema de 5 equações obtidas no final do Passo anterior. Para isto, vamos substituir as três últimas equações nas duas primeiras. Obteremos então:
Da primeira equação, temos:
Substituindo na segunda, temos:
Passo 4
Para finalizarmos a questão, basta perceber que todos os pontos do eixo satisfazem a equação de encontrada no final do Passo 3.
Portanto, a solução da questão é exatamente:
Resposta
A solução é dada pela superfície