1. Obtenha uma equação livre de parâmetros para a superfície Ω , reunião das retas paralelas ou contidas em O y z e concorrentes com O x que interceptam a circunferência Γ de centro 0,0 , 2 , raio 1 , contida no plano π : z = 2 . Tente visualizar a superfície.
  2. Obtenha uma equação livre de parâmetros para o conóide de plano diretor π : x - y = 0 cuja diretriz Γ é a interseção dos planos de equações x = 0 e z = 1 , sabendo que O x é a reta dos vértices

Passo 1

O enunciado da questão é exatamente a definição de um conóide. Então, vamos obter as equações da curva Γ e das retas.

A curva diretriz Γ será a solução do seguinte sistema:

Γ : x = 0 z = 1

Seja P = x , y , z . Se P ∈ Γ , então, z = 2 e x = 0 . Portanto, o ponto P tem coordenadas P = 0 , y , 1 .

Já os pontos do eixo O x são dados por A = x , 0,0 . Se queremos uma reta que passa por P e por A (concorrente com O x ) e é paralela/contida em π , temos que satisfazer a seguinte relação:

A P → ⋅ n → = 0

- x , y , 1 ⋅ 1 , - 1 , 0 = 0

- x - y = 0

x = - y

Portanto, a reta r possui a seguinte equação:

r : X = A + λ A P →

r : X = x , 0,0 + λ y , y , z

Passo 2

Agora, precisamos montar o sistema de equação que nos dará a superfície que estamos buscando. Para que façamos isto, vamos precisar trabalhar simultaneamente com a ideia de superfícies cônicas e superfícies cilíndricas.

Seja X um ponto de coordenadas X = x , y , z . Ele pertence a Ω se, e somente se, existe um ponto Q = u , v , w que pertence a Γ e P Q → = λ r → .

Portanto, se Q pertence a Γ , temos:

u = 0 w = 1

E, se X Q → = λ r → , também temos:

u = x + λ y v = y + λ y w = z + λ z

Portanto, o sistema que devemos resolver consiste destas 5 equações. Logo,

u = 0 w = 1 u = x + λ y v = y + λ y w = z + λ z

Passo 3

Iremos resolver o sistema de 5 equações obtidas no final do Passo anterior. Para isto, vamos substituir as três últimas equações nas duas primeiras. Obteremos então:

x + λ y = 0 z + λ z = 1 u = x + λ y v = y + λ y w = z + λ z

Da primeira equação, temos:

λ = - x y

Substituindo na segunda, temos:

z - x z y = 1

y z - x z = y

Ω : x z + y = y z

Passo 4

Para finalizarmos a questão, basta perceber que todos os pontos do eixo O x satisfazem a equação de Ω encontrada no final do Passo 3.

Portanto, a solução da questão é exatamente:

Ω : x z + y = y z

Resposta

A solução é dada pela superfície

Ω : x z + y = y z

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