a) Obtenha os vetores de norma 3 3 que são ortogonais a u → = ( 2 ,   3 ,   - 1 ) e a v → = ( 2 ,   - 4 ,   6 ) .

b) Qual dos vetores obtidos no item (a) forma ângulo agudo com ( 1 ,   0 ,   0 ) ?

Passo 1

Queremos achar o vetor ( x , y , z ) de norma 3 3 que é ortogonal a u → = ( 2 ,   3 ,   - 1 ) e a v → = ( 2 ,   - 4 ,   6 ) . Assim, devemos ter

x , y , z ⋅ 2 ,   3 ,   - 1 = 0 ⇒ 2 x + 3 y - z = 0 ⇒ z = 2 x + 3 y

x , y , z ⋅ 2 ,   - 4 ,   6 = 0 ⇒ 2 x - 4 y + 6 z = 0 ⇒ x = 2 y - 3 z

Substituindo a primeira equação na segunda:

x = 2 y - 3 2 x + 3 y = 2 y - 6 x - 9 y

Portanto,

7 x = - 7 y ⇒ y = - x

Voltando para a primeira equação:

z = 2 x - 3 x = - x

Portanto,

x , y , z = ( x ,   - x ,   - x )

Passo 2

Como a norma do vetor é 3 3 , temos que

x 2 + - x 2 + - x 2 = 3 3

Elevando a equação ao quadrado:

3 x 2 = 9 ⋅ 3 ⇒ x 2 = 9 ⇒ x = ± 3

Assim, os vetores pedidos são

3 ,   - 3 ,   - 3             e           ( - 3 ,   3 ,   3 )

Passo 3

No item (b) queremos saber qual dos dois vetores forma um ângulo agudo com o vetor ( 1 ,   0 ,   0 ) . Para isso, o produto escalar deve ser positivo:

3 ,   - 3 ,   - 3 ⋅ 1 ,   0 ,   0 = 3 > 0

- 3 ,   3 ,   3 ⋅ 1 ,   0 ,   0 = - 3 < 0

Assim, o vetor é

( 3 ,   - 3 ,   - 3 )

Resposta

3 ,   - 3 ,   - 3             e           ( - 3 ,   3 ,   3 )

( 3 ,   - 3 ,   - 3 )

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