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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 109

A planta baixa de um muro tem a forma de um ramo de hipérbole. Bernardes, encostado ao muro, foi atingido por um tiro disparado por Arthur, que ocupava o foco. Durante o inquérito policial, Arthur alegou que fora um acidente: a bala ricocheteara após atingir o muro, ferindo Bernardes. Admitindo que a propriedade da reflexão é válida para a bala, prove que Arthur mentiu.

Passo 1

Pela Figura 25-25 do livro-texto, podemos pensar que Arthur estava ocupando F 2 . Suponha que ele atirou em T , posição em que Bernardes não se encontrava (segundo Arthur). Vamos provar que após a bala ricochetear em T , é impossível que ela atinja Bernardes, o que condenaria Arthur. Considere que a equação da hipérbole seja

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

Passo 2

A bala, logo após ricochetear, terá a direção do vetor F 1 T → (pelo princípio da reflexão). Dessa forma, se F 1 = - c ,   0 e T = h ,   k tal que

h 2 b 2 - k 2 a 2 = a 2 b 2 ∴ k 2 a 2 = h 2 b 2 - a 2 b 2

A equação da reta que passa por F 1 e T será:

y - 0 = k - 0 h - - c x - - c ∴ y = k h + c x + c

Agora, vamos calcular a equação da reta assíntota à hipérbole. Uma assíntota é obtida quando x → ∞ . Assim,

y 2 b 2 = x 2 a 2 - 1 ≈ x 2 a 2 ⟹ y = ± b a x

onde usamos a aproximação acima, pois x ≫ 1 .

Passo 3

Note que a reta

y = k h + c x + c

é menor inclinada que a reta

y = b a x

Como precisaríamos de uma reta mais inclinada do que a assíntota para que houvesse uma intersecção com a hipérbole, segue que a bala nunca poderia ter atingido Bernardes!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Em cada um dos problemas 11 a 24, determinar a equação da hipérbole que satisfaz as condições dadas:Focos F ( 0 ,± 3 ) , vértices A ( 0 ,± 2 ) .
Em cada um dos problemas 1 a 10, determinar o centro, os vértices, os focos e a excentricidade das hipérboles dadas. Esboçar o gráfico 9 x 2 - 16 y 2 = 144
Em cada um dos problemas 1 a 10, determinar o centro, os vértices, os focos e a excentricidade das hipérboles dadas. Esboçar o gráfico x 2 - y 2 = 1
Em cada um dos problemas 1 a 10, determinar o centro, os vértices, os focos e a excentricidade das hipérboles dadas. Esboçar o gráfico y 2 100 - x 2 64 = 1
Em cada um dos problemas 1 a 10, determinar o centro, os vértices, os focos e a excentricidade das hipérboles dadas. Esboçar o gráfico x 2 - y 2 = 2