Sejam M e N pontos distintos, k um número tal que 0 < k < 1 , e P um ponto cuja projeção ortogonal Q sobre a reta M N pertence ao segmento M N . Mostre que, se P Q → 2 = k 2 M Q → N Q → , então P pertence à elipse de centralidade k e eixo maior M N .

Passo 1

Vamos adotar um sistema de eixos x O y tal que O seja o ponto médio de M N - .

Tomemos P = x 0 , y 0 e Q = x 0 ,   0 , M = - a ,   0 , N = a ,   0 .

Passo 2

Dessa forma,

P Q → = y 0

(suponha y 0 > 0 );

M Q → = - a - x 0 = a + x 0

N Q → = a - x 0 = a - x 0

(como Q está entre M e N , então - a ≤ x 0 ≤ a )

Passo 3

Segue que:

y 0 2 = k 2 ⋅ a + x 0 a - x 0 ⟹ y 0 2 = k 2 a 2 - x 0 2 ∴ x 0 2 + y 0 2 k 2 = a 2

⟹ x 0 2 a 2 + y 0 2 k 2 a 2 = 1

o que prova que P está sobre uma elipse de centralidade k .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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