Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 14
Pela primeira Lei de Kepler, a trajetória da Terra é elíptica e o Sol ocupa a posição de um de seus focos. Calcule o periélio e o afélio da Terra (que são, respectivamente, a menor e a maior distância da Terra ao Sol), adotando os valores aproximados: distância focal da trajetória da Terra, ; medida do eixo maior, km.
Passo 1
Bom, temos uma questão de contextualização aqui. O importante é não se assustar com a questão. Apesar dela parecer bem complicada, vocês verão que conseguiremos resolver juntos bem rápido.
Sabemos que o Sol está em algum dos focos enquanto a Terra orbita na trajetória elíptica.
O periélio, que é a menor distância da Terra ao Sol, ocorrerá quando a Terra passar pelo vértice do eixo maior mais próximo do foco. A distância entre os dois será dado por:
Já o afélio é o contrário. É a maior distância da Terra ao Sol e ocorrerá quando a Terra passar pelo vértice do eixo maior mais longe do foco. A distância entre os dois será dado por:
Passo 2
Após encontrarmos as equações para ambas as distâncias, precisamos descobrir quem são esses e . E para isto, vamos usar as relações descritas no texto.
A distância focal é . Portanto,
Já o comprimento do eixo maior é . Portanto
Agora, é só substituirmos nas relações das distâncias. Portanto,
E,