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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 1.Revisão - Ex. 36

Ache uma equação da circunferência que passa pelos pontos 3 ,   - 1 , 2 ,   2 e - 4 ,   5 .

Passo 1

Sabemos que a distância entre o centro e qualquer ponto da circunferência é constante e igual ao raio. Sabemos também que a fórmula da distância entre dois pontos P 1 x 1 ,   y 1 e P 2 x 2 ,   y 2 é dada por P 1 P 2 - = x 1 - x 2 2 + y 1 - y 2 2 . Além disso, a equação de uma circunferência com centro no ponto x 0 ,   y 0 e raio r é x - x 0 2 + y - y 0 2 = r 2 . Dessa forma, precisamos encontrar as coordenadas do centro e o raio.

Passo 2

Para cada ponto, temos que a distância dele até o centro é igual ao raio.

d 2 = r 2

E assim, temos este sistema:

3 - x 0 2 + - 1 - y 0 2 = r 2   i 2 - x 0 2 + 2 - y 0 2 = r 2   i i - 4 - x 0 2 + 5 - y 0 2 = r 2   i i i

9 - 6 x 0 + x 0 2 + 1 + 2 y 0 + y 0 2 = r 2   i 4 - 4 x 0 + x 0 2 + 4 - 4 y 0 + y 0 2 = r 2   i i 16 + 8 x 0 + x 0 2 + 25 - 10 y 0 + y 0 2 = r 2   i i i

Passo 3

Fazendo i - ( i i ) , temos:

5 - 2 x 0 + 0 - 3 + 6 y 0 + 0 = 0

6 y 0 + 2 = 2 x 0

x 0 = 3 y 0 + 1

Passo 4

Fazendo i - i i i , temos:

- 7 - 14 x 0 + 0 - 24 + 12 y 0 + 0 = 0

12 y 0 - 14 x 0 - 31 = 0

Passo 5

Substituindo o resultado do passo 3 no resultado do passo 4, temos:

12 y 0 - 14 3 y 0 + 1 - 31 = 0

12 y 0 - 42 y 0 - 14 - 31 = 0

- 30 y 0 = 45

y 0 = - 3 2

Passo 6

Substituindo o resultado do passo 5 no resultado do passo 3, temos:

x 0 = 3 - 3 2 + 1

x 0 = - 7 2

Passo 7

Substituindo os resultados dos passos 5 e 6 na equação i do passo 2, temos:

3 - - 7 2 2 + - 1 - - 3 2 2 = r 2

r 2 = 85 2

E assim, podemos substituir os valores encontrados na equação x - x 0 2 + y - y 0 2 = r 2 .

Resposta

x + 7 2 2 + y + 3 2 2 = 85 2

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Caso t seja tangente a alguma elipse E de focos F 1 e F 2 , obtenha uma equação de E . ( a ) t : x - 3 y + 12 = 0; F 1 = - 2,0F 2 = ( 2,0 ) ( b ) t : x - 3 y + 12 = 0; F 1 = 0 , - 4F 2 = ( 0,4 ) ( c )
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Um dos lados de um retângulo circunscrito a elipse E : x 2 + 2 y 2 = 6 é paralelo a reta de equação y = x . Determine os vértices do retângulo.