A elipse E tem centro O, focos em um dos eixos coordenados, e contém os pontos A e B. Em cada caso, escreva uma equação reduzida de E e determine os focos.

1. , .
2. , .
3. , .

Vamos agora as contas. Portanto, os pontos , pertencem a nossa elipse. Logo, nossa primeira equação será:

E vamos parar por aqui. Agora, vamos substituir as coordenadas de . Portanto,

Agora, vamos igualar as duas expressões obtidas. Com isto, temos:

Agora, vamos substituir esta relação em qualquer uma das que obtivemos antes para descobrirmos o valor de . Portanto,

Lembrem-se que os parâmetros geométricos são sempre positivos! Se substituirmos o valor de na relação de , vamos obter o seguinte valor:

E portanto, a equação reduzida da nossa elipse é:

Agora, só nos resta calcularmos os focos. Como o maior denominador é o denominador do , pois:

Então, os focos estão no eixo e são dados por , sendo (normalmente é , mas como aqui o foi dito denominador de , para não nos confundirmos agora, vamos utilizar a outra relação).

OBS: Se você tentar calcular utilizando a relação tradicional e não conseguir pois vai dar raiz de um número negativo, é só inverter a ordem da subtração dentro da raiz!

Continuando, o valor de será:

E portanto, os focos são: