Enunciado

5. a) Provar que as funções s e n   t e cos ⁡ t são ambas soluções de y ' ' + y = 0

b) Provar também que s e n   t e cos ⁡ t são linearmente independentes.

c) Achar a solução geral de y ' ' + y = 0

d) Achar todas as soluções da equação y ' ' + y = t .

Passo 1

d) pra achar todas as soluções precisamos achar uma solução particular que satisfaça:

L f t = f t

E depois é só somar a essa função a solução geral.

Passo 2

Então.. nesse caso:

L f t = f t

D 2 + 1 f t = f t

f ' ' t + f t = f t

Para um pouquinho e pensa...

Qual função que teria a segunda derivada igual a zero... hmmmm... uma reta, né?

f t = a t + b

Então todas as soluções ficam:

a t + b + α cos ⁡ t + β s e n   t

Resposta

a t + b + α cos ⁡ t + β s e n   t

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